连续统假设 连续统假设否定八.doc

连续统假设 连续统假设否定八 导读：就爱阅读网友为您分享以下“连续统假设否定八”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 连续统假设的否定八（简称【否定（8）】 此文为【否定（3）】的等价命题 一、 摘要：本文通过【否定（3）】和【否定（8）】 等价的证明，又一次否定了连续统假设（二），同时又发现了连续统假设一个新的推论（即推论10） 二、关键词：（一）函数列 （二）几乎处处收敛 （三）几乎处处有限 （四）一致收敛 （五）零测集 （六）依测度收敛 （七）极限函数 三、定理一、设E为（-∞，+∞）中任一个不可数子集，{fk(x) }(k为任意自然数)为定义在集合E上任意一个几乎处处收敛而且几乎处处有限的实函数列，其极限函数f(x)也几乎处处有限，则函数列{fk(x) }至少在E的一个有 ＇界不可数子集E1＇上依测度收敛于极限函数f(x)（其中E1 为E中全由凝聚点组成的有界不可数子集）。 本定理为【否定（8）】的结论 四、定理一的证明 下面证明【否定（3【否定（8）】 表示A、B二命题等价。 首先证明【否定（3）】8）】 假设【否定（3）】成立，设E为（-∞，+∞）中任一个不可数子集，{fk(x) }(k为任意自然数)为定义在E上任一个几乎处处收敛而且几乎处处有限的实函数列，其极限函数f(x)也几乎处处有限，则至少存在E的一个有界不可 数子集E＇{fk(x) }在E＇f(x)1δ，使1δ上一致收敛于极限函数 E＇ E＇ ＇（其中E＇E），E＇E＇1δ?1? 1δ为1的可测子集，其中1-E1δ为零 ＇ E中全由凝聚点组成的有测集，且E＇E＇1-E1δ可以任意小，1为 ＇ ∞，函数列{fk(x) }既然定义在E界不可数子集，故mE1lt;+ ＇ 上，则{fk(x) }在E的子集E＇E1上也有定义，1既然全由凝聚 ＇ 点组成，故E＇E1为完全集，也是闭集，因此1为可测集， {fk(x) }既然都定义在可测集E＇3）】的1上，根据【否定（ ＇ 引理二，函数列{fk(x) } (k为任意自然数)皆为E1上的可测 ＇ 函数，其极限函数也在E{fk(x) }在E1上可测，另外函数列 ＇ 上几乎处处收敛而且几乎处处有限，则在其子集E1上也应 如此；根据以上条件和实变函数中有关定理，函数列 {fk(x) }(k为任意自然数)在E＇1上依测度收敛于极限函数 f(x)(一)[一]。 【否定（3）】8）】证出。 下面再证【否定（8）】3）】 假设【否定（8）】成立，设E为（-∞，+∞）中任一个不可数子集，{fk(x) }(k为任意自然数)为定义在E上任意一个几乎处处收敛而且几乎处处有限的实函数列，其极限函数f(x)也几乎处处有限，则函数列{fk(x) }(k为任意 ＇ 自然数)至少在E的一个有界不可数集E1上依测度收敛于极 E中全由凝聚点组成的有界不可数限函数f(x)（其中E＇1是 ＇ ∞），【否定（8）】中这些条件在集合E子集，故mE1lt;+ ＇ 中都成立，则在其子集E{fk(x) }既在1中也应成立，函数列 ＇ ＇ E上定义，则在其子集EE1上也有定义，但1为可测集，根 据【否定（3）】的引理二，{fk(x) }(k为任意自然数)皆为 ＇ E＇E[一]，故函数1上的可测函数，其极限函数在1上也可测 列{fk(x) }在E＇1上满足叶古洛夫定理的条件，根据叶古洛夫 ＇ ＇ ＇＇ E），使{fk(x) }定理，存在EEE? E1的可测子集1δ因（1δ 1? ＇ ＇ 在E1＇f(x)，其中Eδ上一致收敛于极限函数1-E1δ为零测集， ＇ 而且E＇3）】成立，【否定1-E1δ可以任意小，至此【否定（ （3【否定（8）】证出。 五、连续统假设的否定 否定了连续统假设的推论，就等于否定了连续统假设，【否定（3）】一文中的定理一，就是连续统假设推论4的否命题，定理一的证出，就否定了推论4，也就否定了连续统假设，现在又证出【否定（3）】和【否定（8）】等价，【否定（8）】的证出，又一次否定了连续统假设 （二），根据原命题和逆否命题等价的道理，我们又发现了连续统假设一个新的推论（即推论10）。 六、连续统假设的推论10(二)[二] 存在着实变函数的无穷序列{fk(x) }(k为任意自然数)，它在每一个不可数集上都不依测度收敛。 推论10是推论4的等价命题，【否定（8）】是推论10的否命题。 注解（一）：不用【否定（3）】的结论，只从【否定 （8）】的条件中，也可证出函数列{fk(x) }(k为任意自然数)在E1＇上依测度收敛于极限函数f(x),其证法和定理一证明过程的前半部类似，故本文从略。 注解（二）：【否定（8）】的证出，意味着新发现的推论10被推翻，也意味着连续统假设又一次被否定。 注解（三）：在张锦文、王雪生合著的连续