用M-C 方法求积分.doc

《数 理 统 计》 课程设计 题目：用M-C 方法求积分 【题目要求：f（x)自定，n500,考虑n对结果的影响， 即做多组n下的模拟值， 并作模拟值与n的散点图，同时比较模拟值与真实值的差异，散点图表示。并做差异值序列的描述性统计（均值、方差、标准差、峰度系数、偏度系数、众数、中位数、四分位数等）。积分区间可根据需要调整。】 学 院：数学学院 专业班级：应用数学09-2班 姓 名： 李 明 学 号： 指导教师：谭常春 2012.6.20 一、M-C方法概述 M-C方法即蒙特卡洛方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 该方法基本思想很早以前就被人们所发现和利用。17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定π。高速计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量模拟这样的试验成为可能。其实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似。 Monte Carlo方法计算结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地服从正态分布的理论依据是中心极限定理。以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果Monte Carlo计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快地达到。 二、M-C方法与数值积分 用数值积分方法计算积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x2)-F(x1)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，无法计算得到原函数F(x)的显式解，这时我们就只能用数值积分的办法。数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的矩形小块的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。 Monte Carlo方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。 三、M-C方法的形式与一般步骤 做Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：；x为自变量，它应该是随机的，定义域为(x1, x2)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x的概率密度。 Monte Carlo方法分为一下四个个步骤： 1． 2．  3． 误差分析：Monte Carlo方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析。首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。 四、常见随机数的生成及相关函数 1、rand() 生成（0,1）区间上均匀分布的随机变量。基本语法：rand([M,N,P ...]) 生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。 2、randn() 生成服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机数。基本语法和rand()类似：randn([M,N,P ...]);生成排列成M*N*P... 多维向量的随机数。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。 3、unifrnd() 和rand()类似，rand（）可以看作其特殊情况。这个函数生成某个区间内均匀分布的随机数。基本语法：unifrnd(a,b,[M,N,P,...]);生成的随机数区间在(a,b)内，排列成M*N*P... 多维向量。如果只写M，则生成M*M矩阵；如果参数为[M,N]可以省略掉方括号。 4、normrnd() 和randn()类似，randn（）可以看作其特殊情况。此函数生成指定均值、标准差的正态分布的随机数。基本语法：normrnd(mu,sigma,[M,N,P,...])；生成的随机数服从均值为mu，标准差为sigma（注意标准差是正数）正态