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梯度、散度和旋度的定义及公式表达 梯度、散度和旋度的定义及公式表达 梯度是个向量 或表示为 散度是个标量 设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式 旋度是个向量 rotA或curlA 或可以写成 例如求F沿路径r做的功 矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流 说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。 散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式 梯度物理意义：最大方向导数（速度） 散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。 旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。 　附： 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负). 一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯. 欧 拉 定 理 在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做 　　欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 　　（1）分式里的欧拉公式： 　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 　　当r=0,1时式子的值为0 　　当r=2时值为1  　　当r=3时值为a+b+c  　　（2）复变函数论里的欧拉公式： 　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。 　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 　　将公式里的x换成-x，得到： 　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： 　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2. 　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到： 　　e^i∏+1=0. 　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：