李洁+指数分布总体的参数估计及应用.doc

高 等 教 育 自 学 考 试 毕 业 论 文 指数分布总体的参数估计及应用 Parameter estimation and application of exponential distribution 李 洁 Li jie 　　　　 专 业： 数学与应用数学 主考学校： 兰州大学数学与统计学院 准考证号： 432412205023 指导教师姓名职称： 牛明飞 甘肃省高等教育自学考试办公室印制 年 月 日 目 录 摘要 1 引言 1 1指数分布总体的参数估计 2 1.1指数分布的概念 2 1.2极大似然估计法 3 2指数分布总体的应用 6 2.1概率与生活的关系 6 2.2分布总体的概念 7 2.3指数分布与生活 7 2.4 指数分布的具体应用 8 参考文献 11 指数分布总体的参数估计及应用 摘要 随着科学技术的迅猛发展和人类文明的不断进步，数学这门古老而传统的学科正在越来越显示出它的强大威力和实用价值。作为数学的一个年轻的分支，概率统计更是如此。在我们的生活中概率统计可以说是无处不在，大到国家预算、小到家庭生活中都有。在概率论中，指数分布是可靠性工程中一种有用的失效分布，还被常用于描述伺服机构、车辆、电子产品等的寿命，运用十分广泛。指数分布不仅在生产实践中有广泛的应用，而且在科学研究中有极其重要而特殊的作用。估计问题是统计学的基本问题之一，其中的极大似然估计法是一种理论上较为优良、应用范围较为广泛的估计方法，因而在数理统计的参数估计中占有极为重要的地位。 关键字：指数分布；极大似然估计；寿命分布；指数分布总体 引言 概率统计中有许多重要的分布。比如正态分布、泊松分布、几何分布、卡方分布等。其中指数分布就是最重要的分布之一。指数分布由于形式简洁、性质良好，所以经常被应用在各个领域。指数分布函数的一个重要特征是无记忆（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。估计问题是统计学的基本问题之一。在许多情形中，我们已经对总体的分布形式有所了解，但对分布中的参数缺乏认识，需要通过样本信息对参数进行判断。设总体X服从F,其中为未知参数，如何通过样本信息来估计，这类问题即是参数参数估计问题。在概率论中，已经涉及到参数估计。如捕鱼问题，需要估计鱼池中鱼的总条数N，而N正是超几何分布中的参数。又如一次合格的考试，学生成绩应当服从正态分布N,通过抽样，如何利用样本信息来估计参数亦是参数估计的问题。在生存分析和保障精算中，指数分布就是一种重要的参数模型，既然指数分布如此重要，那就有必要对它进行详细的研究。同时指数分布由于只有一个参数，所以对这个唯一参数的估计问题也显得非常重要了。本文就是对指数分布的一些特殊问题进行了较为深入的研究，并在若干情形下对指数分布唯一的参数进行了估计。在概率论中，有一种估计参数的方法叫极大似然估计法。即大概率事件在一次试验中几乎必然发生，反过来理解，一次试验就发生的事件往往可以理解为大概率事件。上面提到的捕鱼问题，正是用这样的思想和方法求出了鱼池中的总数N,这种方法正体现了极大的思想。所谓极大似然法，就是以最大的概率来保证估计的正确性的统计估值方法。 1指数分布总体的参数估计 1.1指数分布的概念 设随机变量的分布密度函数为 则称服从参数为的指数分布。 指数分布也是概率统计中的一类重要分布，不仅在生产实践中有广泛应用，而且在科学研究中有极其重要的作用，关键在于它具有“无记忆性”。 设随机变量服从参数为的指数分布，则对于任意的s0,t0,有 如果把 理解为寿命，则上式表明，无论某种产品被使用了多长一段时间s,只要还没有损坏，它能再使用一段时间t的概率与一件新产品能使用到时间t的概率一样，即这种产品是“永远年轻”的。这一点也说明以指数分布作为寿命分布是有缺陷的。尽管如此，在很多场合人们还是愿意采用这种易于计算的分布作为产品使用寿命的模型。 例1.一个使用了t小时的热敏电阻在内失效的概率是。设该热敏电阻的使用寿命是连续行随机变量，求该热敏电阻的使用寿命分布。 解：用表示该热敏电阻的使用寿命，要求的是 由题意得 即 其中称为的生存函数。完全类似地，对于t0,当时，有 于是对上面两式，均除以，在令，得 两端积分得，t为常数。再利用，立即可得，，于是。 求导后