特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因李亭亭..doc

特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因 李亭亭 学号：100701081 年级专业：10级数学与应用数学专业 性别：女 手机号码电子邮箱：1069182716@.com (安徽师范大学，安徽省芜湖市，241000) 摘要：特征根法可以求解常系数线性微分方程，也可以求解欧拉方程，但是不能求解一般的变系数线性微分方程。本文研究了一般的二阶变系数齐次线性微分方程不能用特征根法求解的原因，给出了二阶变系数齐次线性微分方程的一种解法，建立了相应的通解公式，并运用该解法去求解实例。 关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；特征根法；方程；通解。 Characteristic root method cannot solve the general second order variable coefficient homogeneous LDE Li Tingting (anhui normal university, wuhu, anhui province, 241000) Abstract:Characteristic root method for solving constant coefficient linear differential equation, euler equation can be solved, but cant solve the ordinary LDE with variable coefficients. This paper studies the general second order variable coefficient homogeneous LDE cannot use characteristic root method, gives the second order variable coefficient homogeneous LDE of a kind of method, established the corresponding formula of general solution and the solution to solve the instance. Key Words:Second order variable coefficient homogeneous LDE; Characteristic root method; Riccati equation; The general solution. 引言 求解常系数线性微分方程的方法有特征根法、比较系数法、拉普拉斯变换法等，但是到目前为止，二阶变系数线性微分方程仍然没有一般的求解方法。我们知道，特征根法适用于求解常系数线性微分方程，对于变系数微分方程来说，只有欧拉方程可以用特征根法求解。因此，本文探索了特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因，并给出了二阶变系数齐次线性微分方程的一种解法，建立了相应的通解公式。 1.特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因 设二阶变系数齐次线性微分方程为 （1.1） 其中、为的函数。 如果方程（1.1）是二阶的欧拉方程，则可以使用特征根法求解该方程。如果方程（1.1）是一般的二阶变系数齐次线性微分方程，则仿照常系数齐次微分方程的特征方程的建立过程，我们知道一阶变系数齐次线性微分方程 有形如的解，且其通解为（为任意常数）。因此我们试求方程（1.1）的指数函数形式的解 （1.2）其中是关于的函数。注意到 因此将上两式带入方程（1.1）可得： 即： （1.3） 易知，（1.2）为方程（1.1）的解当且仅当是二阶非线性微分方程（1.3）的解。如果按照常系数齐次微分方程的说法，那么方程（1.3）应该是方程（1.1）的“特征方程”，而就是“特征根”。下面我们对方程（1.3）做变量代换： 由于方程（1.3）不显含未知函数，故可令，则方程（1.3）化为： 进而有： （1.4） 方程（1.4）即为我们熟知的方程。 我们都知道，早在1841年，法国数学家刘维尔Liouville就已证明方程一般没有初等解法。而阶常系数微分方程中所使用的特征根法是通过其特征方程求解出特征根，进而表示出该微分方程的个线性无关的解，则该微分方程的通解就可