02018江苏省自学考试数学教育学笔记自学提纲.doc

【提纲 第1—26页 】 【笔记 第26—48页 】 第一章 数学的特点方法与意义 1数学语言 主要由文字语言，符号语言和图像语言组成。用数学语言表达的对象或现象是精确的。不会引起人们理解的混乱。 2数学方法 以数学为工具进行科学研究和解决问题的方法。即用数学语言表达事物的状态，关系和过程，经过推理，运算和分析，以形成解释，判断和预言的方法。 3数学模型 模型是指所研究对象或事物的有关性质的一种模拟物。数学模型是指那些利用数学语言来模拟现实的模型。 4公理化方法 始于古希腊欧几里得原本，它以五个公理出发，运用演绎方法将当时所知道的几何学知识全部推导出来，使之条理化，系统化，形成合乎逻辑的体系。 5 随机思想方法 又叫统计方法，就是指人们以概率统计为工具，通过有效的收集整理受随机因素影响的数据，从中寻找确定的本质的数量规律，并对这些随机影响以数量的刻画和分析，从而对所观察的现象和问题做出推断，预测，直至为未来的决策与行动提供依据和建议的一种方法。 6数学抽象性有哪些特点？①数学抽象的彻底性。数学的抽象撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系。②数学抽象的层次性。从抽象到更加抽象，即逐级抽象。③数学方法的抽象性。数学思想活动是思想实验，且不在实验室里进行，在人的大脑里。 7数学模型方法 指对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式进行的数学概括，描述和抽象的基本方法。 8随机思想方法有什么特点？①概率统计方法的归纳性。源于它在作出结论时是根据所观察到的大量个别情况归纳所得。②处理的数据受随机因素影响。③处理的问题一般是机理不清楚的复杂问题。④概率数据中隐藏着概率特性。人们通过大量重复观测得到的数据，经过科学整理和统计分析慧出现一定的概率规律 9公理化方法有什么特点？①有利于概括整理数学知识并提高认知水平。②促进新理论创立。③由于数学公理化思想表述理论的简捷性，条件性和结构的和谐性，从而为其他科学理论的表述起到了示范作用，其他科学纷纷效法建立自己的公理化系统。 10论述：通过你研究或学习数学的体会，谈谈你对数学严谨性的认识？数学的严谨性是指逻辑上要无懈可击，结论要十分确定，一般又称为逻辑严密性或严格性，结论确定性或可靠性。以数学确认真理的方式看，数学中使用逻辑的方法(至少基本情形是如此)是由数学研究的对象、数学这一门科学的本质属性所决定的。数学的抽象性质预先规定了数学只能用从概念本身出发的推理来证明。数学的对象是抽象的形式化的思想材料，它的结论是否正确，一般不能如物理等其他科学那样借助于重复的实验来检验，而主要依靠严格的逻辑推理来证明，而且一旦由推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。 从数学发展的历史来看，数学的严谨性是相对的。例如，微积分刚刚创立时，逻辑上很不严密，但其获得了惊人的有效应用；直到后来经过数学家很长时间的努力，才使微积分建立了比较严格的理论基础，类似微积分这样的事例在数学中还有很多。所以数学的严谨性也是相对的，与数学发展的水平密切相关，随着数学的发展严谨的程度也在不断提高。 人们要求绝对严格的精神，推进了数学的研究，已经使数学(特别是在它的基础方面)在实质上以及面貌上发生了很大的变化。由于数学用严格的逻辑建立体系，用逻辑方法来确认真理，使数学成为具有严谨逻辑性的科学。正如日本数学教育家米山国藏所说的：“在这种意义上，可以认为现今以一组不证明的命题、一组不定义的术语为基础的公理数学，才是最严格最广泛最抽象的科学体系。”无论是在科学的严密性的意义上或者在教育的严密性的意义上，对数学而言，逻辑严密、主体严格是整个数学的生命，并且在使今天的数学大厦变得庄严壮观的同时，为使它坚固而不可动摇，严谨也是最有力的一个因素。 11举例说明数学对人类文明科学文化的作用？数学的知识、思想、方法对于人类进步与社会发展产生重要影响，这在前几节论述中已有所体现。比如，从古希腊时代欧几里得的公理体系雏形，到希尔伯特形式化的公理系统；从牛顿不太严密的微积分，在欧拉等一大批伟大的数学家发现分析数学丰富的结论和方法的基础上，到19世纪、20世纪之交，形成了一个严密的、逻辑的数学分析体系，这种思维模式不仅对于数学的发展，而且对于科学的发展和人类思想的进步起到了重要的作用。西方的科学家和思想家常常以这种思维模式来思考和研究科学、社会、经济以至政治问题。从柏拉图、培根、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨一直到近代的很多思想家常常遵循这种思维模式。例如，牛顿从他著名的三大定律出发，演绎出经典力学系统；美国的《独立宣言》是又一个例子，它的作者试图借助公理化的模式使人们对其确实性深信不疑：“我们认为这些真理是不证自明的……”不仅所有的直角相等，而且“所有的人生而平等”；马克思从商品出发，一步步演绎出资主义经济发展的过程和重要结论，这个过程也受到了公理化思想