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高等数学A教学大纲 (Higher Mathematics) 课程代码 218.101.1-2 编写时间 2004年6月 课程名称 高等数学 英文名称 Higher Mathematics 学分数 5+5 周学时 5+1,5+1 任课教师* 童裕孙等 开课院系** 数学学院 预修课程 高中数学 课程性质： 理科基础课（理科自然科学类和技术科学类本科一年级学生） 基本要求和教学目的： 要求学生掌握一元和多元微积分的基本理论、基本方法和基本运算，掌握线性代数的基本概念和基本方法，能用微积分、常微分方程和线性代数的工具解决自然科学和技术科学中提出的一些简单的应用问题。高等数学的教学目标不仅在于引导学生掌握基本的数学工具，而且旨在培养学生理性思维的能力，启迪学生的智慧和创新意识。 课程基本内容简介： Ⅰ 一元函数微积分：55+11 Ⅱ 线性代数与空间解析几何：48+10 Ⅲ 多元函数微积分：62+12 Ⅳ 常微分方程：15+3 教学方式: 课堂讲授、课后练习 教材和教学参考资料 作者 教材名称 出版社 出版年月 教材 童裕孙等 高等数学（上），高等数学（下） （第二版） 高等教育出版社 2004年4月、5月 参考资料 李忠等 高等数学简明教程 北京大学出版社 1998年 陈纪修等 数学分析 高等教育出版社 2004年 姚慕生 高等代数 复旦大学出版社 2003年 教学内容安排： 高 等 数 学（上） Ⅰ 一元函数微积分 一、极限与连续（学时数：15+3） 教学内容 1．函数 函数概念；函数的图象；函数的性质；复合函数；反函数；初等函数。 2．数列的极限 无穷小量；无穷小量的运算；数列的极限；收敛数列的性质；单调有界数列；Cauchy收敛准则。 3．函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限；极限的性质；单侧极限；无穷远处的极限；曲线的渐近线。 4．连续函数 函数在一点的连续性；函数的间断点；区间上的连续函数；闭区间上连续函数的性质；无穷小和无穷大的连续变量。 教学要求 1．理解函数、函数的图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念及性质。 2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念。 3．掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念。 4．理解数列极限的概念。 5．掌握数列极限的性质及四则运算法则。 6．掌握单调有界数列必有极限的准则，掌握数列极限的夹逼准则，并会利用它们求极限，了解Cauchy收敛原理。 7．理解函数极限的概念（含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极限）。 8．掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要的极限求有关的极限。 9．会求曲线的水平、垂直和斜渐近线。 10．理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较法，会用等价无穷小求极限。 11．理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性。 12．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。 二、微分与导数（学时数：20+4） 教学内容 1．微分与导数的概念 微分的概念；导数的概念；导数的意义；微分的几何意义。 2．求导运算 初等函数的导数；四则运算的求导法则；复合函数求导的链式法则；反函数求导法则；对数求导法；高阶导数。 3．微分运算 基本初等函数的微分公式；微分运算法则；一阶微分的形式不变性；隐函数求导法；参数方程确定的函数求导；微分的应用：近似计算、误差估计。 4．微分学中值定理 局部极值与Fermat定理；Rolle定理；微分学中值定理；Cauchy中值定理。 5．LHospital法则 型的极限；型的极限；其它不定型的极限。 6．Taylor公式 带Peano余项的Taylor公式；带Lagrange余项的Taylor公式；Machlaurin公式。 7．函数的单调性和凸性 函数的单调性；函数的极值；最大值和最小值；函数的凸性；曲线的拐点；函数图象的描绘。 8．方程的近似求解 教学要求 1．理解微分和导数的概念、关系和几何意义。会用导数描述一些物理量，理解函数的可微性和连续性的关系。 2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。 3．理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4．了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算和误差估计中的应用。 5．理解并能应用Rolle定理，Lagrange微分学中值定理，了解并会用Cauchy中值定理。 6．掌握用LHospital法则求未定式极限的方法。