2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案).doc

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛（含详细答案） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．方程的实数解的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．大于2 2．正2007边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（　　） A．0 B．1 C．大于１ D．与分割的方法有关 3．已知关于参数（）的二次函数（）的最小值是关于的函数，则的最小值为（　　） A．－2 B． C． D．以上结果都不对 4．已知为正整数，，实数满足，若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 5．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（　　） A．1 B． C． D．2 6．过四面体的顶点作半径为1的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切．若，，，则四面体的外接球的半径为（　　） A．2 B． C．3 D． 二、填空题（每小题9分，共54分） 7．若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为______________． 8．方程的所有正整数解为_____________． 9．若是边长为1的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，，若，则满足条件的点有两个，分别设，则之间的距离为_______________． 10．方程的不同非零整数解的个数为_____________． 11．设集合，，其中是五个不同的正整数，，，，若中所有元素的和为246，则满足条件的集合的个数为_____________． 12．在平面直角坐标系中定义两点，之间的交通距离为．若到点，的交通距离相等，其中实数满足，，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为________． 三、论述题（每小题20分，共60分） 13．已知的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与，交于点，分别与或其延长线交于点，求证三点共线． 14．已知数列（）满足，，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数． 15．排成一排的１０名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少），每名教师尽可能多选学生．对于学生所有可能的排序，求的最小值． 参考答案 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．方程的实数解的个数为（ ）。 大于 答 选。 设，则，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。 2．正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ ）。 大于 与分割的方法有关 答 选。 只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。 3．已知关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，则的最小值为（ ）。 以上结果都不对 答 选。 当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。 4．已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（ ）。 。 答 选。 因为，所以， 于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。 5．定义区间的长度均为，其中。已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（ ）。 答 选。 原不等式等价于。 当或时，原不等式等价于。设，则。设的两个根分别为，则满足的构成的区间为，区间的长度为。 当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。 由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。 6．过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为（ ）。 答 选。 过作平面的垂线，垂足为