2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷(含详细答案,9月23日)2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷(含详细答案,9月23日).doc

2007年年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷 (9月23日上午8:30~10：30) 一、选择题（每题6分，共36分） 1、若点P（x，y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x，y）=的最小值等于（ ） （A） （B） （C） （D） 2、满足的正整数数对（x，y）（ ） （A）只有一对 （B）恰有有两对 （C）至少有三对 （D）不存在 3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f：MN使对任意的x∈M，都有是奇数，则这样的映射f的个数是（ ） （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 4、设方程所表示的曲线是（ ） （A）双曲线 （B）焦点在x轴上的椭圆 （C）焦点在y轴上的椭圆 （D）以上答案都不正确 5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。 （A）100 （B）120 （C）160 （D）200 6、设，，其中[x]表示不超过x的最大整数。则的个位数字为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且，则方程组的解（x，y，z）= 。 2、已知关于x的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 。 3、设平面上的向量满足关系，又设与的模为1，且互相垂直，则与的夹角为 。 4、设函数，则函数的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。 5、已知单位正方体ABCD—EFGH棱AD与直线BC上分别有动点Q、P。若△PQG与△BDE相截得到的线段MN长度为y，设AQ=x（0≤x≤1），则y的最小值写成关于x的函数关系式是 。 6、设a1，a2，…，a2007均为正实数，且，则的最小值是 。 三、（20分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc= （1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。 （2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周长的最小值。 四、（20分）已知⊙O1与⊙O2相交于两不同点A、B，点P、E在⊙O1上，点Q、F在⊙O2上，且满足：EF为两圆的公切线，PQ∥EF，PE与QF相交于点R。证明：∠PBR=∠QBR。 五、已知椭圆过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C。现有以A为焦点，过点B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M（m，0）。当椭圆的离心率e满足时，求实数m的取值范围。 2007年全国高中数学联系广西赛区试卷参考答案 选择题（每小题6分，共36分） 1．（A） 解： =，等号当且仅当，即时成立，故f（x，y）的最小值是 2、（B） 解：设，其中a，b均为自然数，则y=a+b，。因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且b+ab-a,所以或解得或 3、（A） 解：当x=-2时，x+f（x）+xf（x）=-2-f（-2）为奇数，则f（-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f（x）+xf（x）=f（0）为奇数，则f（0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f（x）+xf（x）=1+2f（1）为奇数，则f（1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。 4、（C） 解： 于是，，同理。 因为，故应选（C） 5、（A） 解：设三位数是，则+。 若不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以=11，13，15，17。 因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有种可能； 因13=9+4=8+5=7+6，所以取值有种可能； 因15=9+6=8+7，所以取值有种可能； 因17=9+8，所以取值有种可能； 由于不能进位，所以只能取0，1，2，3，4。 因此，满足条件的数共有：5（+++）=100（个） 6、（B） 解：由猜想： 。由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略） 于是，当n1时, 故 因此,应选(B) 填空题（每小题9分