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2011全国中考真题解析 压轴题及详解(二)
16.(2011山东日照,24,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A,B.已知点B的坐标为(﹣2,﹣2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.
考点:二次函数综合题。
专题:代数几何综合题。
分析:(1)根据已知条件可以推出A点的坐标,把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式,即可得出a、b、k的值,就可以确定双曲线和抛物线的解析式了;
(2)根据A、B抛物线解析式,可以确定C点的坐标,即可去顶AC和AC边上的高的长度,就可以计算出△ABC的面积了;
(3)根据题意画出图形,根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标,CD∥AB,得出直线CD相应的一次函数,然后结合D点也在抛物线上,解方程组,求D点坐标
解答:解:(1)把点B(﹣2,﹣2)的坐标,代入y=,
得:﹣2=,∴k=4.
即双曲线的解析式为:y=.(2分)
设A点的坐标为(m,n).∵A点在双曲线上,∴mn=4.①
又∵tan∠AOx=4,∴=4,即m=4n.②
又①,②,得:n2=1,∴n=±1.
∵A点在第一象限,∴n=1,m=4,∴A点的坐标为(1,4)
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx,得:解得a=1,b=3;
∴抛物线的解析式为:y=x2+3x;(4分)
(2)∵AC∥x轴,∴点C的纵坐标y=4,
代入y=x2+3x,得方程x2+3x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=1(舍去).
∴C点的坐标为(﹣4,4),且AC=5,(6分)
又△ABC的高为6,∴△ABC的面积=×5×6=15;(7分)
(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D.
因为直线AB相应的一次函数是:y=2x+2,且C点的坐标为(﹣4,4),CD∥AB,
所以直线CD相应的一次函数是:y=2x+12.(9分)
解方程组得所以点D的坐标是(3,18)(10分)
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法.关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式,曲线解析式和直线解析式.
17. (2011山西,26,14分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M,当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t 0),△MPQ的面积为S.
(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为_____________;
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段BC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.
考点:二次函数,一次函数,三角形面积,最值,分类讨论
专题:压轴题
分析:⑴由题意不难得出点C的坐标为(3,4).因为直线l经过O、C两点,所以设其解析式为,将点C(3,4)代入,解得,所以直线l 的解析式为.
⑵求 S与t的函数关系式,关键是确定MP及点Q到MP的距离.根据题意,得OP=t, AQ=2t, 根据动点的运动过程,需分三种情况来讨论.
当0<t≤时; 如图第26题(2)图1,由题意可证△AEQ∽△ODC,得,.∴Q点的坐标是(,).∴.
∴.
②当<t≤3时; 如图第26题(2)图2,∵BQ=2t-5,∴OF=11-(2t-5)=16-2t.
∴Q点的坐标是(16-2t,4).∴PF=16-2t-t=16-3t.
∴.
③当3<t<时,如图第26题(2)图3,当点Q与点M相遇时,16-2t=t,解得.
当3<t<时,如图3,MQ=16-2t-t=16-3t,MP=4.
∴
⑶根据题(2)中S与t的函数关系,先分别求出①当0<t≤时;②当<t≤3时;③当3<t<时, t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.最后综合上述各情况判断得出t为何值时, S的最大值.
①当0<t≤时,.
∵a=
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