2013年高考天津数学理科试题及答案(全word版)2013年高考天津数学理科试题及答案(全word版).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 (A) (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4．已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③ 5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 6．在△ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) 7． 函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8．已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = . 10． 的二项展开式中的常数项为 . 11．已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = . 12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 . 13．如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 . 14．设a + b = 2, b0, 则当a = 时, 取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. 17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. (Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 18．(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且 成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 20．(本小题满分14分)已知函数. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有. 参考答案 一、选择题 1． 2． 由图可知，当目标函数通过直线与直线的交点时取得最小值，。 3．时，，此时不成立；当时，，此时不成立；当时，，此时成立；所以输出的。 4．知，缩小到原来的时，体积缩小到原来的是正确的；②不一定相等，标准差反映的是数据的稳定状态，数据越分散，标准差越大，例如：1，3与0，4这两组