(0506年上学期高三同步测控优化训练数学A：概率与统计A卷附答案.docVIP

第一章 概率与统计 ●知识网络 ●范题精讲 【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η. （1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ、Eη. 分析：本题考查如何构筑离散型随机变量的分布列及其期望的求法.问题的关键是搞清随机实验的结果能否用一个变量来表示，它可能取的值是什么，以及取每个值的概率是什么. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P（ξ=3）= P（ξ=2）= P（ξ=1）=， P（ξ=0）= 根据题意，知ξ+η=3，所以 P（η=0）=P（ξ=3）=， P（η=1）=P（ξ=2）=， P（η=2）=P（ξ=1）=， P（η=3）=P（ξ=0）=. （2）Eξ=3×+2×+1×+0×=. 因为ξ+η=3，所以Eη=3－Eξ=. 评注：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）Pi≥0，i=1，2，…； （2）P1+P2+…=1. 1.求离散型随机变量ξ的期望的步骤： （1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； （2）求ξ取每个值的概率； （3）写出ξ的分布列； （4）由分布列和期望的定义求出Eξ. 2.若ξ~B（n，p），则可直接利用公式求Eξ=np. 【例2】 为了了解全市居民用水量的分布情况，通过调查抽样，我们获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t）： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 （1）作出频率分布表； （2）画出频率分布直方图. 分析：应按照画频率分布直方图的步骤去完成. 解：（1）①求最大值与最小值的差（极差）. 这个样本中最大值为4.3 t，最小值为0.2 t，它们的极差是4.3－0.2=4.1. ②决定组距和组数. 在本例中取组距为0.5（t），那么组数==8.2. 因此可将数据分为9组. ③将数据分组. 以组距为0.5将数据分组时，可以分成以下9组：［0，0.5），［0.5，1），…，［4，4.5）. ④列频率分布表. 计算各小组的频数及频率，作出100位居民月均用水量的频率分布表. 分组 频数累计 频数 频率 ［0，0.5） 4 0.04 ［0.5，1） 正 8 0.08 ［1，1.5） 正正正 15 0.15 ［1.5，2） 正正正正 22 0.22 ［2，2.5） 正正正正正 25 0.25 ［2.5，3） 正正 14 0.14 ［3，3.5） 正 6 0.06 ［3.5，4） 4 0.04 ［4，4.5） 2 0.02 合计 100 1.00 （2）画频率分布直方图. 评注：用样本的频率分布估计总体分布，分以下两种情况： （1）当总体中的个体取不同的值较少时，用频率分布表列出几个不同数值的频率，用相应的条形图的高来表示取各个值的频率； （2）当总体中的个体取不同的值较多，甚至无限多时，用频率分布表列出各个不同区间内取值的频率，用相应的直方图的面积来表示各个区间内取值的频率，所有小矩形的面积之和等于1.当用频率分布直方图表示各个区间内取值的频率时，组距和组数的确定没有固定的标准.组数应力求合适，从而使数据的分布规律能清楚地呈现出来.当样本容量不超过100时，按照数据多少，常分成5~12组. 【例3】 在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t