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46 等差数列的前n项和
教材分析
等差数列的前n项和是数列的重要内容,也是数列研究的基本问题.在现实生活中,等差数列的求和是经常遇到的一类问题.等差数列的求和公式,为我们求等差数列的前n项和提供了一种重要方法.
教材首先通过具体的事例,探索归纳出等差数列前n项和的求法,接着推广到一般情况,推导出等差数列的前n项和公式.为深化对公式的理解,通过对具体例子的研究,弄清等差数列的前n项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系,并能熟练地运用等差数列的前n项和公式解决问题.这节内容重点是探索掌握等差数列的前n项和公式,并能应用公式解决一些实际问题,难点是前n项和公式推导思路的形成.
教学目标
1. 通过等差数列前n项和公式的推导,让学生体验数学公式产生、形成的过程,培养学生抽象概括能力.
2. 理解和掌握等差数列的前n项和公式,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系,并能用公式解决一些实际问题,培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力.
3. 在研究公式的形成过程中,培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法.
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前n项公式及其应用.
对公式的推导,为便于学生理解,采取从特殊到一般的研究方法比较适宜,如从历史上有名的求和例子1+2+3+……+100的高斯算法出发,一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣,另一方面引导学生发现等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律,进而发现求等差数列前n项和的一般方法,这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题.对等差数列的求和公式,要引导学生认识公式本身的结构特征,弄清前n项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系.为加深对公式的理解和运用,要强化对实例的教学,并通过对具体实例的分析,引导学生学会解决问题的方法.特别是对实际问题,要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型,恰当选择公式.对于等差数列前n项和公式和二次函数之间的联系,可引导学生拓展延伸.
教学设计
一、问题情景
1. 在200多年前,有个10岁的名叫高斯的孩子,在老师提出问题:“1+2+3+…+100=?”时,很快地就算出了结果.他是怎么算出来的呢?他发现1+100=2+99=3+97=…=50+51=101,于是1+2+…+100=101×50=5050.
2. 受高斯算法启发,你能否求出1+2+3+…+n的和.
3. 高斯的方法妙在哪里呢?这种方法能否推广到求一般等差数列的前n项和?
二、建立模型
1. 数列的前n项和定义
对于数列{an},我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.
2. 等差数列的求和公式
(1)如何用高斯算法来推导等差数列的前n项和公式?
对于公差为d的等差数列{an}:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n—1)d], ①
依据高斯算法,将Sn表示为Sn=an+(an—d)+(an—2d)+…+[an—(n—1)d]. ②
由此得到等差数列的前n项和公式
小结:这种方法称为反序相加法,是数列求和的一种常用方法.
(2)结合通项公式an=a1+(n—1)d,又能得怎样的公式?
(3)两个公式有什么相同点和不同点,各反映了等差数列的什么性质?
学生讨论后,教师总结:相同点是利用二者求和都须知道首项a1和项数n;不同点是前者还须要知道an,后者还须要知道d.因此,在应用时要依据已知条件合适地选取公式.公式本身也反映了等差数列的性质:前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和都等于首、末两项之和,后者反映了等差数的前n项和是关于n的没有常数项的“二次函数”.
三、解释应用
[例 题]
1. 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.
(1)a1= —4,a8= —18,n=8.
(2)a1=14.5,d=0.7,an=32.
注:恰当选用公式进行计算.
2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的关系式,它们都是关于a1与d的二元一次方程,由此可以求得a1与d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知
注:(1)教师引导学生认识到等差数列前n项和公式,就是一个关于an,a1,n或者a1,n,d的方程,使学生能把方程思想和前n项和公式相结合,再结合通项公式,对a1,d,n,an及Sn这五个量知其三便可求其二.
(2)本题的解法还有很多,教学时可鼓励学生探索其他的解法.例如,
3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.
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