5第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论.doc

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泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论 课时数 4 教学 目的 通过教学使学生掌握利用函数的单调性证明不等式;利用拉格朗日中值定理证明不等式;利用函数的最值证明不等式;利用泰勒公式证明不等式;积分表示的不等式的证明 重 点 难 点 1.利用函数的单调性证明不等式 2.利用泰勒公式证明不等式 3.积分表示的不等式的证明 教 学 提 纲 第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论 1.利用函数的单调性证明不等式   若在上总有,则在单调增加;若在上总有,则在单调减少。 2.利用拉格朗日中值定理证明不等式 对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。 3.利用函数的最值证明不等式 令上连续,则存在最大值和最小值,那么: 4.利用泰勒公式证明不等式 如果要证明的不等式中,含有函数的二阶或二阶以上的导数,一般通过泰勒公式证明不等式。 5.积分表示的不等式的证明 教学过程与内容 教学 后记 第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法,有时需要两次甚至三次连续使用该方法。其他方法可作为该方法的补充,辅助函数的构造仍是解决问题的关键。 1.利用函数的单调性证明不等式   若在上总有,则在单调增加;若在上总有,则在单调减少。 【评注】构造恰当的辅助函数是解决问题的基础,有时需要两次利用函数的单调性证明不等式,有时需要对进行分割,分别在小区间上讨论。 例1:证明:当时, . 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明. 【解】 令 , 则 ,且. 又 ,(), 故当时,单调减少,即,则单调增加,于是,即 . 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数,辅助函数一般通过移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作辅助函数,然后求导验证的增减性,并求出区间端点的函数值(或极限值)。 例2:设, 证明. 【分析】即证 【证明】设, 则 , , 所以当xe时, 故单调减少,从而当时, , 即当时,单调增加. 因此当时,, 即 , 故 . 【评注】 本题也可设辅助函数为,请自己证明。 例3:证明不等式: 【分析】当时,两端都等于0,等号成立;应分两种情况讨论。 即证:(1) (2) (3) 下面的证明就简单了。 例4:设,证明: 【分析】该题的关键是设辅助函数,由多种设法 (1) (2) , 当然,第二种设法更简单 例5:设 ,证明 【分析】辅助函数也有多种设法 (1), (2) , (3) , 当然,第三种设法更简单。 【练习】设,证明不等式 2.利用拉格朗日中值定理证明不等式 对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。 例6:证明:当0ba时, 【分析】即证: 【证明】令,在上使用拉格朗日中值定理,知存在 所以,即 ,变形得证。 例7:设, 证明 【证明】 对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得 下面证明 设,则, 当te时, 所以单调减少,从而,即 , 故 . 例8:设,则 【提示】证明,可构造 3.利用函数的最值证明不等式 令上连续,则存在最大值和最小值,那么: 例9:设, 证明 证明:令, 由 得,球的惟一的驻点, ,和1是在[0,1]上的最小值和最大值。 所以: 4..利用函数的凹凸性证明不等式  (1)在上,若,则的图像是凹的,弦在图像的上方; (2)在上,若,则的图像是凸的,弦在图像的下方; 例10: 设, 证明 解: 所以的图像是凹的,得证 5.利用泰勒公式证明不等式(见第七讲) 5

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