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泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析 教研室
课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论 课时数 4 教学
目的 通过教学使学生掌握利用函数的单调性证明不等式;利用拉格朗日中值定理证明不等式;利用函数的最值证明不等式;利用泰勒公式证明不等式;积分表示的不等式的证明 重
点
难
点 1.利用函数的单调性证明不等式
2.利用泰勒公式证明不等式
3.积分表示的不等式的证明
教
学
提
纲
第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论
1.利用函数的单调性证明不等式
若在上总有,则在单调增加;若在上总有,则在单调减少。
2.利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。
3.利用函数的最值证明不等式
令上连续,则存在最大值和最小值,那么:
4.利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中,含有函数的二阶或二阶以上的导数,一般通过泰勒公式证明不等式。
5.积分表示的不等式的证明
教学过程与内容 教学
后记 第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法,有时需要两次甚至三次连续使用该方法。其他方法可作为该方法的补充,辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
1.利用函数的单调性证明不等式
若在上总有,则在单调增加;若在上总有,则在单调减少。
【评注】构造恰当的辅助函数是解决问题的基础,有时需要两次利用函数的单调性证明不等式,有时需要对进行分割,分别在小区间上讨论。
例1:证明:当时,
.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.
【解】 令
,
则 ,且.
又 ,(),
故当时,单调减少,即,则单调增加,于是,即
.
【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数,辅助函数一般通过移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作辅助函数,然后求导验证的增减性,并求出区间端点的函数值(或极限值)。
例2:设, 证明.
【分析】即证
【证明】设, 则 ,
,
所以当xe时, 故单调减少,从而当时,
,
即当时,单调增加.
因此当时,,
即 ,
故 .
【评注】 本题也可设辅助函数为,请自己证明。
例3:证明不等式:
【分析】当时,两端都等于0,等号成立;应分两种情况讨论。
即证:(1)
(2)
(3)
下面的证明就简单了。
例4:设,证明:
【分析】该题的关键是设辅助函数,由多种设法
(1)
(2) ,
当然,第二种设法更简单
例5:设 ,证明
【分析】辅助函数也有多种设法
(1),
(2) ,
(3) ,
当然,第三种设法更简单。
【练习】设,证明不等式
2.利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。
例6:证明:当0ba时,
【分析】即证:
【证明】令,在上使用拉格朗日中值定理,知存在
所以,即 ,变形得证。
例7:设, 证明
【证明】 对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得
下面证明
设,则,
当te时, 所以单调减少,从而,即
,
故 .
例8:设,则
【提示】证明,可构造
3.利用函数的最值证明不等式
令上连续,则存在最大值和最小值,那么:
例9:设, 证明
证明:令,
由
得,球的惟一的驻点,
,和1是在[0,1]上的最小值和最大值。
所以:
4..利用函数的凹凸性证明不等式
(1)在上,若,则的图像是凹的,弦在图像的上方;
(2)在上,若,则的图像是凸的,弦在图像的下方;
例10: 设, 证明
解:
所以的图像是凹的,得证
5.利用泰勒公式证明不等式(见第七讲)
5
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