电子科大matlab期末开卷必备..docx

设数a是精确值，x是a的一个近似值，绝对误差（absolute error ）：真实值与近似值差的绝对值。相对误差（relative error）：绝对误差与精确值之比（如果精确值未知，计算时用近似值代替）。绝对误差限（精度，accuracy）：绝对误差的范围；相对误差限：相对误差的范围; 真实值=00123.000456要求保留5位有效数字：00123.00（最前面0不计，最后0不省）绝对误差=|真实值-近似值| = 0.000456，相对误差= 0.000456 / 00123.000456 =3.7073e-006保留7位有效数字：00123.0005（四舍五入）绝对误差=0.0000440.00005（绝对误差不大于其最末数字的半个单位）相对误差= 0.000044 / 00123.000456 = 3.5772e-007浮点数是什么数？实数？有理数？有限小数？有多少个不同的浮点数？264（64位，每位有两个状态，“0”和“1”）浮点数是由264个有限小数（包含整数）构成的集合？错。IEEE 定义了一些异常值，inf （无穷）和NaN（“非数字”）浮点数精度是多少？(绝对误差限）esp=2-52 = 2.2204E-16最大的浮点数是多少？realmax =（2-esp）×21023 = 1.7977E+308最小的浮点数是多少？realmax = -1.7977E+308 最小的正浮点数是多少？realmin = 2-1022 ×2-52 =4.9407e-324避免相近二数相减易减小有效数字避免小分母: 分母小会造成浮点溢出求和时从小到大相加，可使和的误差减小简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累。选用稳定的算法eps是f 的绝对误差限eps是f 的精度浮点数的绝对误差不同；浮点数绝对值越大，绝对误差越大。浮点数的相对误差不大于eps。Matlab中“null”函数可计算欠定方程Ax=0 的基础解系。Matlab中的“\”可计算方程的特解。性质1：若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。性质2：只要A非奇异，即A-1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。1. 上（下）三角方阵的行列式的值等于对角线元素的乘积；2. 上（下）三角方阵的转置为下（上）三角矩阵；3. 上（下）三角方阵的逆矩阵为（上）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的倒数；4. 两个上（下）三角方阵的乘积也是上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的乘积。算子范数与其对应的向量范数相容，即矩阵A的谱半径记为r(A) = ，其中li为A的特征根。且有若A对称矩阵，则有若原始数据有很小的变化δx，对应的输出变化δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题病态问题中，结果对于数据的变化率都很大（很敏感），因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。问题一：b存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组Ax=b+e，其解为x’，分析其误差问题二，A 存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，给定包含误差方程组（A+E）x=b，其解为x’，分析误差（A+E 可逆）问题三，A，b都存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组（A+E）x=b+e，其解为x’，分析误差当条件数很大时,方程组Ax = b是病态问题。条件数是矩阵的特征，与算法无关。条件数与所选择的范数有关，不同范数计算的条件数不同。迭代法基本原理：如果迭代序列｛x（k+1）= f（x（k））｝收敛，则其极限点为方程f（x）= x 的解迭代公式的构建：将方程Ax=b改写为：x=Mx+c，M称为迭代矩阵迭代公式一（Jacobi 迭代利用Jacobi迭代求解方程组、迭代公式三（Gauss-Seidel迭代）一般认为新近似解要比老近似解更接近真实解，将已计算出的x（k+1）分量替换Jacobi 迭代公式中x（k）相应分量即可得到Gauss-Seidel迭代。利用Gauss-Seidel迭代求解方程组步骤1、构造Jacobi迭代公式步骤2、选择初值步骤3、利用Jacobi迭代公式计算一次迭代的第一分量步骤4、将步骤3得到的一次迭代的第一分量替换初值的第一分量，计算一次迭代的第二分量：步骤5、如果第三分量存在，利用一次迭代的第一、二分量计算第三分量，直到计算出所有迭代向量分量。步骤6、重复步骤3-5，进行迭代迭代法求解线性方程组Gauss-Seidel迭代矩阵超松弛迭代/ SOR迭代矩阵第k步迭代误差公式线性方程组迭代法收敛性：如果绝对值最大特征值（谱半径）小于1，则收敛