基于MATLAB《数值分析》有关算法的实现..docx

基于MATLAB《数值分析》有关算法的实现摘要： 数值分析算法在科学应用各个分支中有着越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。实际生活中，很多问题都可以归纳为数值问题，如测得的实验数据有时候可以用插值法进行函数逼近预测等。数值算法常与工程实践相结合，通过MATLAB软件运行的程序来解决实际问题。本课题实现了拉格朗日插值法、最小二乘法、雅克比迭代法、二分法等算法的MATLAB程序设计。拉格朗日插值法基本原理：通过平面上不同的两点可以确定一条直线，这就是拉格朗日线性插值问题，对于不在同一条直线的三个点得到的插值多项式则为抛物线。拉格朗日插值的基本多项式为： ,i=0,1,2,…n有了基函数以后就可以直接构造如下多项式：该多项式就是拉格朗日插值法所求得的插值多项式。拉格朗日插值法算法： 根据所给点（，）的坐标依次写出其插值基函数（用for循环可以轻易解决） i=0,1,2,…,n将插值基函数与其对应的点的函数值相乘得：f(),i=0,1,2,…,n将2中各项累加即得插值多项式：拉格朗日插值法程序：function lagrange(A) %A为一个只有两行的矩阵，第一行为插值点，第二行为插值点对应的函数值[m,n]=size(A);f=1;p=0; %两个用到的变量syms xfor i=1:n f=(x-A(1,i))*f;endfor j=1:n g(j)=f/(x-A(1,j)); %求插值基函数的分母 h(j)=subs(g(j),x,A(1,j)); %求插值基函数的分子 s(j)=g(j)/h(j)*A(2,j); %插值基函数endfor k=1:n s(j)=collect(s(j)); %合并同类项endfor i=1:n p=p+s(i);enddisp(‘拉格朗日插值法可得多项式:’)collect(p) %可用lagrange([1 3 6 8;4 6 9 12])调试4．例子：有如下表格中有四个插值点及其对应的函数值，用拉格朗日插值法写出其三次插值多项式：136846912解：在MATLAB命令窗口输入： lagrange([1 3 6 8;4 6 9 12]) 可得运行结果： 牛顿插值法基本原理： 拉格朗日插值多项式的理论在许多方面都有应用，是很不错的一种方法，但就插值问题而言，如果增加一个插值点，原先计算插值的多项式就没有用了，即拉格朗日插值法的继承性很差，牛顿插值法就很好的解决了这个问题，具有很好的继承性。函数f(x)的差商定义为：f[]=f()f[, ]=f[,]=f[,…,]=在差商的基础上可得牛顿插值多项式：=f[]+f[,](x-)+ f[,,](x-)(x-)+…+ f[,,…,](x-)(x-)…(x-)牛顿插值法算法：根据差商的定义求出各阶差商。依次写出：=(x-) (x-)…(x-),n=0,1,2,…,n-1分别与相应的差商相乘，然后累加即可得：=f[]+f[,](x-)+ f[,,](x-)(x-)+…+ f[,,…,](x-)(x-)…(x-)程序代码：function newton(A) %A为两行矩阵，第一行为插值点，第二行为对应插值点的函数值[m,n]=size(A);B=zeros(n-1);k=1;for i=1:n-1 for j=i+1:n Z(j)=(A(2,j)-A(2,j-1))/(A(1,j)-A(1,j-k)); %求i阶差商 B(i,j)=Z(j); %记住各阶差商 end for j=i+1:n A(2,j)=Z(j); end k=k+1;endf=A(2,1);g=1;syms xfor i=1:n-1 g=g*(x-A(1,i)); f=f+B(i,i+1)*g; %求牛顿插值多项式enddisp(‘牛顿插值法可得多项式:’)fdisp(‘牛顿插值法得到的多项式合并同类项为:’)collect(f) %newton[1 3 6 8;4 6 9 12]例子： 有如下表格中有四个插值点及其对应的函数值，用牛顿插值法写出其三次插值多项式：136846912解：在MATLAB命令窗口输入：newton([1 3 6 8;4 6 9 12])可得如下运行结果如图：通过比较对同一题目的运算可知：拉格朗日插值法与牛顿插值法所得的插值多项式是一致的！