对一道中考试题的改进与分析..doc

[初中数学论文] 对一道中考试题的改进与分析 对很多的初三学生和数学老师来说，2005年天津市高级中等学校招生考试数学试卷的第18题是一个刻骨铭心的题目．笔者初次接触这个题目已经是在2006年的4月初了，虽然迟了些，但还是有几句话想说。 一、问题的初步分析 我们先来看一下这个题目以及命题者提供的参考答案及说明。 例1如图1，已知五边形中，∥，∠＝∠ ＝90°，则可以将该五边形分成面积相等的两部分的 直线有__________条，满足条件的直线可以这样确定： 图1 参考答案及说明：无数．例如，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边、的交点分别为、，线段的中点为，则经过点且与边、相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分 从题目的意思来看，第二格不应该是个开放性问题．但从参考答案及说明来看，“例如，过点作与平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分设该直线与边、的交点分别为、，线段的中点为，则经过点且与边、相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分是平行四边形．连接、交于点，则过点的任一直线平分平行四边形的面积．反之，平分平行四边形的面积的直线必过点．具体的证明读者可以自己去完成。 图2 图3 例3 如图3，已知梯形中∥．取梯形中位线的中点，当过点的直线与线段、都相交时，被分得的两部分中位线（注：不一定是梯形中位线，也有可能是三角形或平行四边形的）和高线都相等，此时直线平分梯形的面积．是不是所有过点的直线都平分梯形的面积呢？回答是否定的，我们只要举一条与直线平行的直线即可，由于该直线截梯形所得的线段长大于即，所以该直线位于直线的下方，如图3所示，显然直线没有经过点。 例4现有如图所示的方角铁皮工人师傅想用一条直线将其请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案 图4 图5 图6 图7 说明三种比较简单的分法见图5—图7．这里的三种分法都是通过割或补，把组合图形转化为基本图形.这与例1参考答案所提供的思路完全一致。 例5是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图8）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由。 说明如图9，作任意方向的一条直线,显然图中情形时左边部分面积小于整个图形面积的一半；把直线向右平移至图10位置后，直线左边部分面积大于整个图形面积的一半；由于右移过程直线左边部分面积是连续性增加的，因此恰好有一个位置使得直线左边部分面积等于整个图形面积的一半，如图11所示，此时直线将整个图形面积平分。 需要指出的是例5中平分图形面积的直线有无数条，各个方向的直线都有，而且恰好各有一条。 三、问题的进一步分析 比较例2及例3，读者可能会关心这样一个问题：平分图形面积的直线，什么样的图形必过某一定点（例如平行四边形），什么样的图形不存在这样的定点（例如梯形）。其实这与图形是否是中心对称图形有关．下面只对凸多边形的情形进行证明。 例6如图12，设平分某个图形面积的直线都过定点.过点任作两条