2012全国初中数学竞赛试题及答案安徽赛区.docVIP

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果，那么的值为【 】 （A） （B） （C）2 （D） 解：B∵∴，，因此原式= 在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为【 】 （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 解：B解法一：化为 因为x、y均为整数，因此或或 分别解得或或所以共有9个整点 解法二：化为它表示以点（1,1）为圆心，为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2） 3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为【 】 （A） （B）4 （C） （D）4.5 解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． 由于AC = BC，CD = CE， ．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE． 又因为，所以．在△中，， 于是DE=，所以CD = DE = 4． 4、如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 解：C∵p、q是正整数∴，∴正根为 解得∴，，，，，， 5、黑板上写有，，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 解：C ∵计算结果与顺序无关 ∴顺次计算得：，，，…… 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ． 解：7在两边乘以得即 7、如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于 ． 解：如图，设的中点为，连接，则． 因为，所以， ． ． 8、设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 . 解：1600 因此，所以，因此所以共有2012-402=1600个数 9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 . 解： 依题意得：，所以，代入（2）得 ，两边乘以a得 即化简得，两边除以得 所以另一方面：a≤b≤c，所以综合得 10、已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ． 解：依题意得 由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤≤100时，4的倍数共有25个 但是，，，， ，，， ，， 这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式． 解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10． 由勾股定理，得．易知， 因此 CO = BO = 6． 于是，，．设点D的坐标为．由，得． 所以 ，．解得 ． 因此D为AB的中点，点 D的坐标为． 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为． 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为． 12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD. （1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 ， ． 所以， CI = CD． 同理，CI = CB ． 故点C是△IBD的外心