《数列的概念及简单表示法高考数学总复习高中数学课时训.docVIP

数列的概念及简单表示法 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的是 （填序号）. 答案 ①③ 2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第 项的和最大. 答案 10或11 3.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a、b为常数，则ab= . 答案 -1 4.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3= . 答案 20 5.（2008· 北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= . 答案 -30 例1 写出下面各数列的一个通项公式： （1）3，5，7，9，…； （2），，，，，…； （3）-1，，-，，-，，…； （4），-1，，-，，-，…； （5）3，33，333，3 333，…. 解 （1）各项减去1后为正偶数， 所以an=2n+1. （2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an=. （3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1， 所以an=（-1）n·. 也可写为an=. （4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-， 所以an=(-1)n+1·. （5）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…, 所以an=(10n-1). 例2 已知数列的通项公式为an=. （1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性. 解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98. ∵n=7时成立，∴0.98是它的项. （2）an+1-an= =＞0. ∴此数列为递增数列. 例3 （14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n≥2),a1=,求an. 解 ∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1, ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 即-=2， 4分 ∴数列是公差为2的等差数列. 6分 又S1=a1=，∴=2， ∴=2+（n-1）·2=2n， ∴Sn=. 10分 ∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2·· =-， 12分 ∴an=. 14分 1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1），，，，，… （2），2，，8，，… （3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，… 解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式 an=. （2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，，，…， 可得通项公式an=. （3）联想=10n-1, 则an===(10n-1), 即an= (10n-1). （4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…， 则an=5sin. （5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，… ∴an=2n-1 故所求数列的通项公式为an=2n-1. 2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{an}是递减数列. （1