数值计算方法上机实验报告..doc

数值计算方法上机实验报告 班级：农电0801 姓名：杨 昆 学号：200801090122 算法原理以及程序框图 ①牛顿法求非线性方程 算法原理： 对于非线性方程，若已知跟的一个近似值，将在处展开成一阶泰勒公式： 忽略高次项，有 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的根代入，即 解出 将右端取为，则是比更接近于的近似值，即 这就是牛顿迭代公式。 程序框图： 具体算例及求解结果： 导出计算的牛顿迭代公式，并计算。 迭代结果： 10.750000 10.723837 10.723805 输入变量、输出变量说明： 输入变量：迭代初值，迭代精度，迭代最大次数 输出变量：当前迭代次数，当前迭代值 ②列主元消去法求解线性方程组 算法原理： 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角方程组求解。 列选住院是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。 程序框图： 具体算例及求解结果： 用列选主元法求解下列线性方程组 求解结果： 1.200000 2.000000 -1.400000 输入变量、输出变量说明： 输入变量：系数矩阵元素，常向量元素 输出变量：解向量元素 ③LU分解求解线性方程组 算法原理： 求解线性方程组时，当对进行杜里特尔分解，则等价于求解，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由 求出，再利用会带，由求出。 程序框图： 具体算例及求解结果： 用杜里特尔分解法求解方程组 求解结果： 2.000000 -2.000000 1.000000 输入变量、输出变量说明： 输入变量：系数矩阵元素，常向量元素 输出变量：解向量元素 ④拉格朗日插值多项式 算法原理： 首先构造基函数，可以证明基函数满足下列条件： ， 对于给定个节点，次拉格朗日插值多项式由下式给出： 其中 由于是一个关于的次多项式，所以为关于的不高于次的代数多项式。当时，，满足插值条件。 程序框图： 具体算例及求解结果： 已知 的值如下表所示。 的值 0 0 1 试用四次Lagrange 多项式计算的估计值。 求解结果： 0.258588 输入变量、输出变量说明： 输入变量：插值节点 输出变量：插值所得到被插函数在插值点的近似值 ⑤最小二乘法曲线拟合 算法原理： 对于给定的一组数据，=1，2…，，寻求做次多项式 使性能指标 为最小。 由于性能指标可以被看做关于，=0，1，…，的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可转化为多元函数的极值问题。令 从而有正则方程组 求解即得多项式系数。 程序框图： 具体算例及求解结果： 给定函数的实例数据表： 1 2 3 4 6 7 8 2 3 6 7 5 3 2 试用最小二乘法求二次拟合多项式 求解结果： -1.318171 3.431811 -0.386363 输入变量、输出变量说明： 输入变量：已知数据点 输出变量：拟合多项式的系数 ⑥改进欧拉法求解常微分方程初值问题 算法原理： 当取值较小时，让梯形法的迭代公式只迭代一次就结束。这样先用欧拉公式求得一个初步近似值，称之为预报值，预报值的精度不高，用它替代梯形法右端的，再直接计算得出，并称之为校正值，这时得到预报-校正公式。将预报-校正公式 称为改进欧拉公式。 程序框图： 具体算例及求解结果： 求解初值问题 求解结果： 0.1 1.095909 1.095909 0.6 1.485956 1.485955 0.2 1.184097 1.184097 0.7 1.562514 1.552514 0.3 1.266201 1.266201 0.8 1.616475 1.616474 0.4 1.343360 1.343360 0.9 1.678320 1.678166 0.5 1.416402 1.416402 1.0 1.737867 1.737867 输入变量、输出变量说明： 输入变量：处置点，区间长度，计算次数 输出变量：初值问题的数值解法结果 ⑦四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题 算法原理： 用区间内四个不同点上的函数值的线性组合就得到四阶龙格-库塔法。 四阶龙格-库塔法 其中，均为待定系数。 类似于前面的讨论，把分别在点展开成的幂级数，代入并进行花间，然后与在点上的泰勒展开式比较，