数学建模实验报告-多容器注水模型..doc

数学建模实验报告 --多容器注水模型 班级：*** 姓名：*** 学号：*** 多容器注水模型 如下图，有三个容器，容器均为圆柱型，容器编号依次为1，2，3，容器侧面底部有小孔，用于排水，研究容器中的水位变化。 一．模型假设： 假设容器足够高，水不会从容器中溢出；小孔在容器最下方，可以使容器中的水全部排出；不计空气阻力和容器摩擦等各种阻力，则水流出的速度为=；三个容器的小孔在t=0时刻同时打开。 二．模型建立： 容器内初始水位确定，设定初始水位依次为，， ，且不再有水注入容器1中。设圆柱横截面积依次为, , ，小孔截面积依次为，，，设时间t时水的高度依次为, , ，水的速度为=，在t+△t时，水的高度依次为+△, +△, +△，水在△t时间内从小孔流出保持水平前进所经过的距离依次为△, △, △, 水从容器中流出的速度依次为, , 。 设定初值为： A1=0.2;A2=0.3;A3=0.4; H1=1.5;H2=0.9;H3=0.5; B1=0.02;B2=0.01;B3=0.03; g=9.8; 三．模型求解： 分析容器1： 容器1中的水流出的体积与它流入容器2的水的体积相同，有： -*△=*△ （负号表示容器1的体积减小） 两端同时除以△t，并令△t →0取极限， 得：-*=* 并且有：=, =， 于是上式： = -* 初始条件为：(0)= 编写代码如下: A1=0.2;A2=0.3;A3=0.4; H1=1.5;H2=0.9;H3=0.5; B1=0.02;B2=0.01;B3=0.03; g=9.8; h1=H1 for t=0:0.01:30 if h1=0 h1=h1-(B1*sqrt(2*g*h1)*0.01)/A1 hold on else h1=0 end plot(t,h1) end 作图: 结论：容器1中的水位下降，由曲线斜率变化可知，水位下降速率先快后慢，且速率逐渐减慢，直至容器1中的水全部排出。 分析：水位下降速率减慢是由=引起的，水位下降，导致水位变化速率减缓。 分析容器2： 容器1流入容器2: *△=*△，所以 △=(*△)/ 从容器2流出,流入容器3: *△= -*△ 所以△=（*△）/ (-) 所以容器2的高度变化：△=△+△=（-*△+*△）/ 两端同时除以△t，并令△t →0取极限，得：= -*+* 并且有：=, =；=, =，于是上式： = -*+* 初始条件为：(0)= 编写代码如下: A1=0.2;A2=0.3;A3=0.4; H1=1.5;H2=0.9;H3=0.5; B1=0.02;B2=0.01;B3=0.03; g=9.8; h1=H1 h2=H2 for t=0:0.01:10 if h1=0 h1=h1-(B1*sqrt(2*g*h1)*0.01)/A1 hold on else h1=0 end if h2=0 h2=h2-(B2*sqrt(2*g*h2)*0.01)/A2+(B1*sqrt(2*g*h1)*0.01)/A2; hold on else h2=0 plot(t,h2) end 作图: 结论:容器2中的水位先上升后下降，由曲线斜率变化可知，水位上升时，上升的速率逐渐减慢，水位下降时，下降的速率也是逐渐减慢。 分析：由于B1=0.02，B2=0.01，即容器1的小孔比容器2的小孔横截面积大，导致容器2中的水位先上升，待容器1中的水全部排除后，容器2中的水位开始下降，直至水位降为0。至于水位下降速率减慢，这都是由=引起的，水位下降，导致水位变化速率减慢。 分析容器3： 容器2流入容器3 的体积为:*△=*△ 所以, △=(*△)/ 从容器3流出:*△= -*△ 所以, △=（*△）/ (-) 所以容器3的高度变化： △=△+△=（-*△+*△）/ 两端同时除以△t，并令△t →0取极限， 得：= -*+* 并且有： =, =；=, =， 于是上式： =-*+* 初始条件为：(0)= 编写代码如下: A1=0.2;A2=0.3;A3=0.4; H1=1.5;H2=0.9;H3=0.5; B1=0.02;B2=0.01;B3=0.03; g=9.8; h1=H1 h2=H2 h3=H3 for t=0:0.01:40