矩阵构造对奇异值分解信号处理效果的影响..docx

矩阵构造对奇异值分解信号处理效果的影响摘 要一维信号一般可以构造两种矩阵,第一种矩阵是通过对信号的连续截断来构造的,第二种则为重构吸引子矩阵.文中从理论上证明了在这两种矩阵方式下,奇异值分解都可以将信号表示为一系列分量信号的线性叠加,但是第一种矩阵获得的分量信号是彼此正交的,而第二种矩阵获得的分量信号则不具有正交性.两种矩阵的结构都可以利用分量信号信息量的变化趋势来合理地确定.对一个铣削力信号的处理结果表明,第一种矩阵分离出了机床主轴旋转基频完整的时域波形,分辨出了两个频率很接近的信号分量,发现了信号中隐含的调幅现象;而第二种矩阵则揭示了切削过程中由于材料颗粒不均匀和间隙而产生的对刀具的微弱冲击现象.关键词：奇异值分解;矩阵构造;正交;信号处理;特征提取正文奇异值分解(SVD)是指:对于一个实矩阵 ，必定存在正交矩阵 和 ，使得 (1)成立，其中 ， ,O为零矩阵,p=min(m,n),且称为矩阵A的奇异值. SVD方法在信号与图像处理、语音识别、特征提取与故障诊断等领域有着广泛的应用。将SVD应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵A.利用一维信号来构造矩阵,一般有两种方法,一种是通过对信号的连续截断来构造矩阵,另一种是利用信号构造一个重构吸引子矩阵.在一般利用SVD进行信号处理的文献中,大都着重于从实用出发,利用SVD实现对信号的一种分解,并基于这种分解解决某种特定问题,而未具体从SVD的性质出发讨论其信号分解特性。鉴于此,文中对这两种矩阵方式下SVD的信号分解特性进行研究,证明了它们都是一种由分量信号的简单线性叠加来构成原始信号的分解过程,具有零相位偏移特性。由于U、V是正交矩阵,容易使人认为利用SVD方法获得的信号分量之间彼此独立、具有正交性,但事实并非如此。文中对此问题从理论上进行了分析,证明了通过第一种矩阵方式获得的分量信号是正交的,而通过第二种矩阵方式获得的分量信号并不具有正交性。无论是哪一种矩阵,如何确定矩阵的行数m和列数n都是一个重要的问题,这对SVD的分析效果有很大的影响。Kanjilal等针对存在周期分量的信号,提出了通过奇异值比(SVR)谱来确定m和n的方法,将SVR谱定义为随n取值的不同而变化的谱。若在SVR谱上存在明显的峰值,则说明信号中存在周期分量,此时对应的m和n即为所求,但是在很多情况下(例如信号由多个周期分量组成或噪声较严重时),该方法的效果并不明显。这主要是由于该方法只利用前两个奇异值的信息,而没有考虑后面所有奇异值的信息,这未免有失偏颇.由于奇异值的大小决定相应分量信号的信息量,因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构应该更为合理。文中首先通过分析所有分量信号信息量的变化趋势来确定合理的矩阵结构；然后通过这两种矩阵,利用SVD从铣削力信号中提取铣削过程的状态信息,并比较这两种矩阵方式的实际处理效果。结果表明,利用第一种矩阵可以从铣削力信号中分离出机床主轴旋转基频近乎完整的时域波形,能分辨两个频率很接近的信号分量,并发现信号中隐含的调幅现象,证实了机床的爬行并确定爬行频率；而利用第二种矩 则获得了良好的消噪和弱信号提取效果,发现了切削过程中由于工件材料颗粒不均匀和间隙而引起的对刀具的微弱冲击现象。第一种矩阵构造方法及其分量信号的特对一维信号 ,取两个正整数m和n,对此信号按每次n个点连续截取m段,构造一个m行n列的矩阵A如下: 其中m≥2,n≥2且n=int(N /m ).为了利用SVD实现信号的分离,将式(1)改写成用列向量 和 表示的形式: (2)式中：，由SVD理论可知, 之间是两两正交的, 之间也是两两正交的。令，则，从A的构造过程可知,只要将的各行首尾相接,就可以构成一个分量信号，而所有则形成了对原始信号X的一个分解。设可用行向量表示,；而A用行向量表示,，则根据式(2),A的每个行向量显然等于的相应行向量的叠加,即 （3）由于原信号X是由首尾相接而成,可用向量形式表示,而分量信号由首尾相接而成,也可用向量形式表示,则所有分量信号的和可写为，根据式(3),有 (4)由式(4)可见,原始信号是所有分量信号的简单线性叠加,从原信号中分离一个分量信号的过程就是从原信号中减去该分量信号,从而使得分离出来的各分量信号保持它们在原信号中的相位不变,即具有零相位偏移特性。第二种矩阵构造方法及其分量信号的特性第二种矩阵为重构吸引子矩阵,也称Hankel矩阵,它可利用信号构造如下:其1＜n＜N。对于这种矩阵,也可以利用式(2)通过计算来得到一组分量信号,不过此时在式(2)中，而p=min(N-n+1,n)。同样可用行向量表示，，且两个相异矩阵和的行向量也满足式(6),其证明过程完全相同。然而分量信号却不是由的行向量首尾相接而成,根据此矩阵的构造,分量信号将由的第一个行向量