立几存在性问题及三视图问题习题精选精讲..doc

存在性问题 1如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，设 PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA=2.（1）当CE为多少时，PO⊥平面BED； （2）在（1）情形下，求二面角E—PB—A的余弦值.： 解：以A为原点，直线AD为x轴，AB为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系 （1）则P（0，0，2），O（1，1，0），D（2，0，0） ∵EC∥PA，∴可设E（2，2，z）则 ∵△PBD为等腰三角形，∴PO⊥BD，故要使，……4分 ∴－2+2z = 0，∴z = 1，即OE = 1时，PO⊥平面BED.……………………………6分 （2）∵AD⊥平面PAB，是平面PAB的一个法向量，且 设为平面PBE的一个法向量 由由 解得： 取z = 2，则x =－1，y =2， 故二面E—PB—A的余弦值为 2． 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点. （Ⅰ）求证：AB1//面BDC1； 　 （Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得 CP⊥面BDC1？并证明你的结论. （I）证明： 连接B1C，与BC1相交于O，连接OD ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点， ∴OD//AB1.∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1. （II）解：如力，建立空间直角坐标系，则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0） 设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则 即.…………6分 易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量. ∴二面角C1—BD—C的余弦值为 （III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1. 则 ∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. 3 如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.（I）求证是定值； （II）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使得异面直线OP与BQ所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 解：法一：（I）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，过O且平行于AD的直线为Ox轴.过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示空间直角坐标系……1分 设S（0，0，z）（z0，z∈R） 则 即为定值. （II）由（I）建立的空间直角坐标系可知 A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）P（－1，）设点Q（x，y，z），则存在λ使 法二：（I）证明：在△SDC内，作SE⊥CD交CD于E，连结OE……1分 ∵SO⊥平面ABCD ∴SO⊥CD ∴CD⊥平面SOE ∴SO⊥OE ∴OE//AD ∴DE=1从而CE=3 即为定值. 4． 直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为△ABD、△A1B1D的重心. （Ⅰ）求证：MN⊥AB； （Ⅱ）若二面角C—AB—D的正切值为， 求二半平面ABD、A1B1D所成锐二面 角的余弦值； （Ⅲ）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N， 试判断C在平面ABD上的射影是否为M？ 并说明理由. ．解：（I）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴建立坐标系. 设C1D=a(0≤a≤4)，由题意有 C1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，4），A（2，0，4） B（0，2，4），D（0，0，a）.………………………………………………1分 ∵M、N分别为△ABD，△A1B1D的重心， （注：也可以不用向量证法） （II）平面ABC法向量=（0，0，1），设平面ABD的法向量=（x1，y1，z1），则 设二面角C—AB—D的大小为θ，则由 ， 解得a=2，（a=6舍去），∴=（－1，－1，1）.……………………………………7分 设平面A1B1D的法向量 ∴半平面ABD，A1B1D所成锐二面角的余弦值为：. （III）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N，则 解得a=2