算法合集之《欧拉回路性质与应用探究》..doc

欧拉回路性质与应用探究 湖南师大附中　 仇荣琦 【摘要】 　　欧拉回路，又称“一笔画”，是图论中可行遍性问题的一种。本文首先介绍了欧拉回路的相关理论知识，以及求欧拉回路的算法。然后通过几个实例，介绍了与欧拉回路相关的几类典型问题。最后对欧拉回路的模型进行了总结，指出其特点和具备的优势。 【关键词】 　　欧拉回路　欧拉路径 【正文】 一　引言 欧拉回路问题是图论中最古老的问题之一。它诞生于十八世纪的欧洲古城哥尼斯堡。普瑞格尔河流经这座城市，人们在两岸以及河中间的两个小岛之间建了七座桥（如图1）。 市民们喜欢在这里散步，于是产生了这样一个问题：是否可以找到一种方案，使得人们从自己家里出发，不重复地走遍每一座桥，然后回到家中？这个问题如果用数学语言来描述，就是在图2中找出一条回路，使得它不重复地经过每一条边。这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。 无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败告终。问题传到了欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的重视。经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在这类回路的充要条件。后人为了纪念欧拉这位伟大的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。 欧拉回路问题在信息学竞赛中有着广泛的应用，近年来在各类比赛中出现了许多与之相关的试题。本文将介绍欧拉回路的相关理论知识，并通过几道例题分析欧拉回路的实际应用。 二　相关知识 首先介绍相关概念和定理。设是一个图。 欧拉回路　图中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。 欧拉路径　图中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。 欧拉图　存在欧拉回路的图称为欧拉图。 半欧拉图　存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。 在以下讨论中，假设图不存在孤立点；否则，先将所有孤立点从图中删除。显然，这样做并不会影响图中欧拉回路的存在性。 我们经常需要判定一个图是否为欧拉图（或半欧拉图），并且找出一条欧拉回路（或欧拉路径）。对于无向图有如下结论： 定理1　无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。 证明　必要性。设图的一条欧拉回路为。由于经过图的每一条边，而图没有孤立点，所以也经过图的每一个顶点，为连通图成立。而对于图的任意一个顶点，经过时都是从一条边进入，从另一条边离开，因此经过的关联边的次数为偶数。又由于不重复地经过了图的每一条边，因此的度为偶数。 充分性。假设图中不存在回路，而是连通图，故一定是树，那么有。由于图所有顶点的度为偶数而且不含孤立点，那么图的每一个顶点的度至少为2。由握手定理，有，与假设相矛盾。故图中一定存在回路。设图中边数最多的一条简单回路为 下面证明回路是图的欧拉回路。 假设不是欧拉回路，则中至少含有一个点，该点的度大于经过该点的关联边的次数。令，从出发有一条不属于的边。若，则顶点自身构成一个环，可以将其加入中形成一个更大的回路；否则，若，由于的度为偶数，而中经过的关联边的次数也是偶数，所以必然存在一条不属于的边。依此类推，存在不属于的边。故是一条新的回路，将其加入中可以形成一个更大的回路，这与是图的最大回路的假设相矛盾。故是图的欧拉回路。 由定理1可以立即得到一个用于判定半欧拉图的推论： 推论1　无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。 证明　必要性。设图的一条欧拉路径为 　　由于经过图的每一条边，而图没有孤立点，所以也经过图的每一个顶点，为连通图成立。对于顶点，进入的次数比离开的次数少1；对于顶点，进入的次数比离开的次数多1：故和的度为奇数。而对于其它任意一个顶点，进入的次数等于离开的次数，故的度为偶数。 充分性。设是图中唯一的两个度为奇数的顶点。给图加上一条虚拟边得到图，则图的每一个顶点度均为偶数，故图中存在欧拉回路。从中删去得到一条从到的路径，即为图的欧拉路径。 对于有向图，可以得到类似的结论： 定理2　有向图为欧拉图，当且仅当的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。 推论2　有向图为半欧拉图，当且仅当的基图连通，且存在顶点的入度比出度大1、的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。 这两个结论的证明与定理1和推论1的证明方法类似，这里不再赘述。 注意到定理1的证明是构造性的，可以利用它来寻找欧拉回路。下面以无向图为例，介绍求欧拉回路的算法。 首先给出以下两个性质： 性质1　设是欧拉图中的一个简单回路，将中的边从图中删去得到一个新的图，则的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。 证明　若为无向图，则图的各顶点的度为偶数；若为有向图，则图的各顶点的入度等于出度。 性质2　设、是图的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们