空间向量(全方位无死角复习资料,可用到高三)..doc

公式的来源与推导、概念总结 例1正四棱柱中，底面边长为6，侧棱长为4，、分别为棱、的中点 （1）求证：平面⊥平面 （2）求点到平面的距离 概念：什么是点到平面的距离？ 过该点做已知平面的垂线段，所作垂线段的长度就叫做点到平面的距离（如下图所示） 2．怎样用向量表示点到平面的距离？ 如图，PO⊥α于O，A是平面α内任意一点，点P到 平面α的距离设为d，为平面α的一个法向量，则有： 3．怎样用坐标法求点到平面的距离？ 解答例1第2问 如图建立空间坐标系，分析：要求点到平面 的距离，由公式：， 只要求出的坐标和平面的一个法向 量坐标，坐标很好求，因为坐标为： （0，0，4），坐标为（6，6，4），所以坐标为：（6，6，0）； 下面求平面的一个法向量坐标 分析：如何求平面的一个法向量坐标？ 基本思想：初中的数学思想：“设、列、求”。即设平面的一个法向量坐标为：(，y，z)，然后列出它们的方程，最后解方程求出x、y、z 根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量⊥，，所以，，由于坐标为（6，6，4），E坐标为（3，6，0），F坐标为（6，3，0），所以的坐标为：（，0，），的坐标为：（0，，），利用坐标法，得到：，由于法向量有长有短，方向可以朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故不能取0，为简单起见，取，得：，，所以法向量=，，3） 代入公式，得点到平面的距离为： 例2直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ） A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 概念：什么是两条异面直线所成的角？ 如图：、是两条异面直线，O是空间任意一点，过点O作∥， 作∥，、是两条相交直线，它们构成四个角，我们把那个不大 于90°的角称为两条异面直线所成的角。 怎样用向量表示两条异面直线所成的角？ 任何直线都有方向向量，设直线的方向向量为，直线的方向 向量为，、两条异面直线所成的角为，向量、的夹角 ，有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，当 ，为锐角或直角时，， ，当，为钝角时，， 所以， 3．怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？ 解答例2： 如图建立空间坐标系，设异面直线与所成的角为， 则，设AB=，易求点B坐标：（，，， 点坐标：，，），点A坐标：（0，0，0），点坐标： ，，），所以 ，，），，，） ∴ 故选C 例3如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求平面与平面所成的二面角的正弦值. 概念讲解 1．什么是直线和平面所成的角？ 如图：直线PA是平面α的一条斜线，PO⊥α， O为垂足，A为斜足，OA为PA在平面α内的 射影，我们把斜线与其射影所成的锐角叫做斜线 和平面所成的角。 怎样用向量表示直线和平面所成的角？ 见右下图，设直线PA和平面α所成的角为θ，则 θ，而可看成向量和向量的夹角，为平面α的一个法向量，显然与向量共线，故法向量和向量的夹角与向量和向量的夹角相等或互补，即，，或，，所以 ， ， 3．怎样用坐标法求直线和平面所成的角？ 讲解例3的第（1）问 如图建立空间坐标系，设直线与平面 所成的角的大小为θ， ∵平面 ∴是平面BCD的一个法向量 故 点A坐标：（0，0，） 点B坐标：（0，0，0） 点M坐标：（，，） （注明：先作MO⊥CD于O，过点C作CE⊥BD于E，CG⊥y轴于G，过点O作OF⊥BD于F，OH⊥y轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标） 于是，，，（0，0，） ∴ ∴ 什么是二面角？（理科必考） 两个平面相交，构成四个“角”，我们把 其中一个移出（见右图），得到的空间图 形叫做二面角。 2．什么是二面角的平面角？ 在二面角棱上任取一点O，过O在平面α内作OA⊥ 在平面β内作OB⊥，则∠AOB就是二面角的平面角 3．什么是二面角的大小？ 就是二面角平面角的大小。 4．怎样用向量表示二面角平面角？ 如图：PA⊥平面α，PB⊥平面β，则PA⊥，PB⊥， 所以⊥平面PAB，设平面PAB向四周延展后交于点C，并 连CA、CB，则有：CA⊥，CB⊥，故∠ACB是二面角 平面角； 另一方面，四边形PBCA内角和等于360°，而 ∠CBP∠CAP=90°，所以二面角平面角∠ACB与∠APB 互补作向量PB，向量PA，则∠APB等于向量PB、向量 PA的夹角 设、分别是平面α