第02章复变函数的积分..doc

第二章 复变函数的积分 基本要求： 1．正确理解复变数函数路积分的概念； 2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义； 3．理解并会熟练运用柯西公式。 教学内容： §2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2 柯西定理。柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。 §2.3 不定积分*。原函数。 §2.4 柯西公式。柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。 §2.1　复变函数的积分 （一）复变函数的积分（简称复积分） 1.复积分的定义 曲线是分段光滑曲线（起点，终点）；在上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。把曲线分成n小段，是第k小段，在上任取一点，求和 ， 当而且每个都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个的选取无关，则这个和的极限称为函数沿曲线从，终点的路积分，记作，即 (2.1.1) 2. 复积分的计算方法 复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。 即：， 3. 复积分的性质 复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如 (1)常数因子可以移到积分号之外； (2)函数和的积分等于各个函数的积分和； (3)反转积分路径，积分变号； (4)全路径上的积分等于各段上的积分和。 (5)积分不等式1： (6)积分不等式2： 其中M是在l上的最大值，L是l的全长。 （二）举例 【例】 (P24)试计算积分 ， ，分别如图所示， 解： 结论：一般说来，复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。 §2.2 柯西定理 本节讨论复变函数的积分与积分路径的关系，寻求积分与路径无关的条件-Cauchy定理。 （一）单连通区域情形 1. 单连通区域 在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的特征： 属于B的任何一条简单闭曲线，在B内可经过连续变形而缩成一点。 单连通区域 复连通区域 2. 单连通区域柯西定理 如果函数在闭单连通区域上解析，则在内沿上任一分段光滑闭合曲线（也可以是的边界），有 柯西积分定理表明，函数满足一定的条件（解析函数），则积分与路径无关。 证明：由路径积分的定义： 因在上解析，因而在上连续，对实部虚部分别应用格林公式 将回路积分化成面积分 又、满足C-R条件 故 3. 推论： 如果函数在单连通区域内B上解析，在闭单连通区域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线(也可以是的边界)，有。 （二）复连通区域情形 1. 复连通区域 奇点：如果函数在某点（或子区域）上不解析（不可导或不连续或没有定义），这样的点（或子区域）称为奇点。如果在奇点的某个去心邻域内是解析的，则称为奇点为孤立奇点。 复连通区域：在区域B内，如果存在奇点，为了把这些奇点部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔的区域，称为~。 “正方向”是指，当沿内、外边界线环行时，区域总在观察者的左边。即外边界线取逆时针方向，内边界线取顺时针方向。 2. 复连通区域柯西定理 如果函数在闭复连通区域上的单值解析函数，则 式中为区域的外边界线，为诸区域的内边界线，积分沿边界线的正方向进行。 证明 作割线连接内外边界线 其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有 即 3. 推论 在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数，积分回路连续变形（就是说不跳过“孔”）时，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。 柯西定理总结： 1)闭单连通区域上的解析函数沿边界线积分为零； 2)闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线正方向积分为零； 3)闭复连通区域上的单值解析函数沿外边界线逆时针方向积分等于沿所有内边界线逆时针方向积分之和。 4）对于任一闭单连通区域或闭复连通区域上的解析函数，只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”）时，函数积分不变。 （三）举例 【例】 试沿区域内的圆弧，计算积分的值。 解: 因为 【例】求积分的值。 解: 函数在全复平面内解析 §2.3 不定积分（原函数） （一）不定积分 根据Cauchy定理，若函数在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线的积分只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点而变化终点，这个不定积分便定义了一个单值函数： 的性质： (1)在B上是解析的； (2