第1章张量分析基础..doc

张量分析与连续介质力学 教材： 《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》 M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010 教学参考书： 1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, Academic Press, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992） 2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，1997 3、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，2003 4、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002 第一章 张量分析基础 第一节 矢量和张量代数 一、矢量代数 本课程只在三维欧氏空间内讨论连续介质力学的基础原理。 点——反应一定的空间位置，由表示矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用来表示。 （两点间的距离可由一矢量表示） （点和矢量之和是另一个点） 矢量的点积和叉积 1）点积 （为两个矢量间的夹角） 表示矢量的大小，为一标量有。 2）叉积 （为一新的矢量） 表示由和构成的平行四边形的面积。 且， 3）混合积 表示由，和三个矢量围成的体的体积。 如果该体的体积不为零，则称，和线性无关。 如果对于不为零的常数a，b，c，有： 则称，和线性相关。不满足线性相关的矢量则是线性无关的。 矢量空间及其性质 由欧氏空间中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间。 如果，和是线性无关的，则构成矢量空间的基即中任一矢量都可以表示为： 如果，则基是正向的（右手法则）。 如果和是同号的，则两组基和是同向的。 如果和则基是正交的且，和是单位矢量。 矢量的相等定义：1）若对于所有的矢量，有，则； 2）若对于所有的矢量，有，则。 子空间的定义：对于矢量子集合中的任意矢量和以及任意的标量和，如果线性组合也属于，则称矢量子集合为子空间。 例：的子空间有，过原点的线，过原点的面以及本身。 回顾：矢量运算的基本定律。 矢量和：满足 交换律 结合律 数乘：满足 分配律（a，b为实数） 结合律 矢量的点积：满足 交换律 分配律 正定性 ，当且仅当时 Schwartz不等式 矢量的叉积：满足 分配律 二重叉积 混合积：记为 有 Cartesian坐标系（直角坐标系） Cartesian坐标系由一个原点和一组正向的正交基构成。基矢满足： （i，j，k=1，2，3） Kronecker函数，有 为置换符号定义 求和约定及矢量和点的分量表示 Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1, 2, 3）遍历求和 这两个相同的指标称为哑标（dummy index），可任意两个相同的指标表示，即： 矢量的分量表示： （j=1, 2, 3） 则称为关于Cartesian坐标系基矢的分量也可以写成： 以此类推，可将点x的坐标写成： 矢量运算的分量表示： ε-δ恒等式： 张量的定义 由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。 例如：由9个有序数组成的集合，在坐标转换时满足，则就是一个张量（二阶张量）。为系数转换矩阵。上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。 在n维空间中，m阶张量应是个数的集合。 二阶张量的线性变换性质 Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间之间的线性变换，即认为一个张量将矢量线性映射为另一个矢量，即有： 张量的线性特性可以体现在： 张量相等：当且仅当对任意矢量，成立时，。 同样，对任意矢量和，当且仅当S = T时，有由此可定义张量S和T之和S + T以及张量S和标量的乘积为： （对任意） 可证明S + T和也都是二阶张量。 种特殊张量 零张量和单位张量： 0， 0v = 0 1v = v 两矢量的张量积： 张量定义为（对所有w）。也就是说张量将任意矢量w映射为矢量u的一个标量乘积，即：。 投影张量 张量将任意矢量u映射为u在e上的投影，即： 而张量将任意矢量u映射为u在垂直于e的面内的投影，即： 则张量和称为投影张量。 球张量 若，1为单位张量，则称S为球张量。 张量的分量 定义张量S的分量Sij为： 或 则有： 张量的转置，对称和反对张量 张量S的转置张量ST是具有如下性质的唯一张量： （对任意v，u