第2章控制系统的数学模型..doc

控制系统的数学模型（2章补充） 描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型； 描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。 同一系统可用不同的数学模型形式描述， 输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。 状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略 方框图模型，描述系统结构比较直观。 传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。 时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式 频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S用jω代换 两者之间有确定的对应关系。 数学模型的建立方法有分析法和实验法两类。 分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。 实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。 时域数学模型举例 在如图无源电路网络系统中，和为电阻，为电容， 为输入电压；为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有 （2-1） 整理后输入输出模型为 （2-2） 有源电路网络系统如图，为电阻，为电容，为输入电压；为输出电压，为理想运算放大器。 运算放大器的反相输入端A点为虚地点，则 据此，可列出和的关系： （2-3） 经整理， （2-4） 图2-3中水箱的流入流量为Qi，流出流量QO，它们都受相应的阀门控制。 设该系统的输入量为Qi，输出量为液面高度H， 则它们之间的微分方程式可列写如下： 设液体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得： (2-5) 式中 A—水箱截面积(米2)；H —液面高度(米)；Qi、QO—流入、流出液体流量(米3 /秒)。 这里QO是个变量，所以须求出中间变量QO才能得到H与Qi的关系。 假设通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得 (2-6) 式中α为节流阀的流量系数，当H变化不大时，α可近似认为只与节流阀的开度有关，若节流阀开度不变，则α为常数。 消去中间变量QO，就得输入输出关系式 (2-7) 这是个一阶非线性微分方程式。 对于较复杂的系统，列写输入输出系统微分方程可采用以下一般步骤： 将系统划分为环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程。 根据定律或通过实验等方法得出的规律列写各环节的方程式，并考虑适当简化，线性化。 消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。 单输入、单输出系统用微分方程表示的数学模型有如下的一般形式： ++…+ =+…+ （2-8） 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…，an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，可得到s的代数方程 [++…++]=[++…++] （2-9） 于是，系统的传递函数为： （2-10） 传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。 传递函数的性质 传递函数是个非常重要的概念，它是分析线性定常系统的有利数学工具，它有以下特点： （1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数