第3章多维随机变量及其分布第3节综合讲练..doc

要览 题型一 离散型随机变量的函数的分布的有关问题 提示 熟记有关概念、通用公式、常用结论 辨析 离散型随机变量的函数的分布 设是二维离散型随机变量, 是一个二元函数, 则作为的函数是一个随机变量, 如果的概率分布为 设的所有可能取值为, 则 1、通用公式 离散型随机变量的函数的概率分布的计算公式 （1）的概率分布为 （3.1） （2）（若相互独立）的概率分布为 （3.2） 离散型卷积公式 2、常用结论 （1）若相互独立，，，则 “二项分布的可加性” （见例2） （2）若相互独立，，，则 “ 泊松分布的可加性” （见例3） 【引例】 【例1】 【辨析】利用二维离散型随机变量函数的有关概念、公式、常用结论 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概率合并. 【例2】（第2版课件补充） 【辨析】利用二项分布的直观模式 常用结论 （1）若相互独立，，，则 “二项分布的可加性” 【例3】（教材P78例2） 【辨析】利用离散型卷积公式（3.2） 常用结论 （2）若相互独立，，，则 “ 泊松分布的可加性” 注意 【补例3.3.1】设的联合概率分布为 （1）求随机变量的概率分布； （2）求随机变量的概率分布. 【解】利用二维离散型随机变量函数的有关概念、公式、常用结论 由的联合概率分布，得 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概率合并. （1）随机变量的概率分布 （2）随机变量的概率分布 【§3.3课堂练习1】 【习题3-3 EX1】 【习题3-3 EX6】 【习题3-3 EX8】 【第3章考研真题1】 【第3章考研真题2】 【第3章考研真题15】 【总习题三 EX15】 题型二 连续型随机变量的函数的分布的有关问题 提示 熟记有关概念、通用公式、常用结论 辨析 连续型随机变量的函数的分布 设是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为, 令为一个二元函数, 则是的函数. 1、通用公式 的分布 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布. （1）的分布函数 （3.3） 其中, . （2）的概率密度函数, 对几乎所有的, 有 （3.4） 2、常用结论 （1）定理1 设是具有密度函数的连续型随机变量. ① 设是到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: ② 假设变换和它的逆都是连续的； ③ 假设偏导数存在且连续； ④ 假设逆变换的雅可比行列式 即对于在变换的值域中的是不为0的. 则具有联合密度 （2）正态随机变量的线性组合的分布 ① 定理2 设随机变量，，且与相互独立，则 “正态分布的可加性” 更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布, 即有 ② 定理3 且它们相互独立，则对任意不全为零的常数，有 任一非零线性组合仍服从正态分布 (ⅰ) （若） (ⅱ) (ⅲ) （若） 独立同分布（正态分布）的随机变量的平均值仍服从正态分布 (ⅳ) （由P48定理1得） （3）和的分布 ① 的分布函数 积分区域如上图所示. 或 ②的密度函数 （ 对几乎所有的 ） 或 特别地 如果随机变量与相互独立，即 则 “独立和分布的卷积公式”（3.5）式 或 “独立和分布的卷积公式”（3.6）式 （4）商的分布 ① 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即 如下图所示. ② 的密度函数 （ 对几乎所有的 ） (5)积的分布 ① 的分布函数 其中，积分区域为型区域，即 如下图所示. ② 的密度函数 （ 对几乎所有的 ） （6）最值的分布 设随