第7章(等参数)..doc

改公式号、图号 第七章 矩形单元和等参元 矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比平面三角形单元更高阶次的位移模式，因而可以更好地反映结构中的位移状态和应力状态。等参数单元则是一类用于曲线或曲面结构、具有特殊特性的单元。在本节中，除了对上述单元进行分析之外，还对结构有限元方程的求解方法及有关数值积分方法进行了简单介绍。 7.1 矩形单元的基本概念 图3-21 矩阵单元 如图3-21所示的矩形单元，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为结点，每个结点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用平面三角形单元的分析方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。这里引入一个局部坐标系?、?，可以推出比较简洁的结果。 (1) 坐标变换与形函数 在图3-21中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，?和?轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系 (3.146) 式中， (3.147) 其中，(xi , yi)是矩形单元结点i的整体坐标，i =1,2,3,4。 在局部坐标系中，结点i的坐标是(?i , ?i )，其值分别为±1。取局部坐标系中的位移模式为 (3.148) 将4个结点的局部坐标值代入上式，可以列出4个结点处的位移分量，得到一组关于8个未知参数?1，?2，…，?8的方程组，由此可求得这8个未知参数，再把这些参数代回式(3.148)中，得到用形函数矩阵和结点位移表示的位移模式方程 (3.149) 其中 (3.150) 式中, ?0 =?i ?，?0 =?i ?，i =1,2,3,4。 (2) 单元刚度矩阵 由几何方程求得单元的应变 (3.151) 将式(3.146)代入，得 (3.152) 式中 (i=1, 2, 3, 4) (3.153) 可以得出用结点位移表示的单元应力，即 (3.154) 式中 (i=1,2,3,4) (3.155) 对于平面应力问题 (3.156) 将单元刚度矩阵写成分块形式 (3.157) 其中的子矩阵按下式进行计算 (3.158) 设单元厚度t是常量，则 (i, j =1,2,3,4) (3.159) 对于平面应变问题，将上式中的E、?分别换成E / 1-? 2 和? / 1-?。 (3) 载荷列阵和结构有限元方程 四边形单元的结点位移与单元结点载荷列阵{R}e 之间的关系为 (3.160) 由于矩形单元有四个结点，所以单元载荷列阵{R}e 有8个元素，即 (3.161) 例如，对于单元自重为W，移置到每个结点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为 (3.162) 如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，且在该边界上的一个结点处为零，而另一个结点处为最大，可将总表面力的三分之一移置到前一个结点上，而将其三分之二移置到后一个结点上。 与平面三角形单元相同，将各单元的、{?}e 和{R}e 都扩充到整个结构自由度的维数，再进行叠加，可得到整个结构的平衡方程。即，[K]{d}={R}。 (4) 矩阵单元的特性 矩形单元的位移模式比平面三角形单元的线性位移模式增添了??项（相当于xy项），这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量不是常量，这一点可以从应变矩阵[B]的表达式中看出。 矩形单元位移模式中的?1、?2、?3、?5、?6、?7与平面三角形单元相同，反映了刚体位移和常应变。位移模式在单元的边界上(? =±1或 ? =±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。 由矩形