第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识..docx

本章目录第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节 多元函数微分学的几何应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极值及其解法第九节 二元函数的泰勒公式几道比较好的题多元函数基本概念 1、基本了解一元函数 的定义域是，是在一条数轴上看定义域 那么在二元中，就是在一个平面上看定义域，有 （其中x，y互相没关系。如果有关系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2、多元函数的邻域 二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8、闭集包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9、特殊区间一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。解出f1(x)yf2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx趋近，再试试y=kx^2。16、多元函数的连续性设在定义域内，若则称二元函数 在 点处连续。这个和一元是一样的，就是极限值等于该点处定义的值，则连续。如果要证明连续，只需用极限的定义 语言证明两者相等边界点都是间断点。17、多元函数的有界性定理和介值定理同一元函数一样，有如下定义：①有界闭区域D内的连续的多元函数，必定有界，且存在最大最小值。②有界闭区域D内的连续的多元函数可以取得介于最大最小值之间的一切值。第二节 偏导数1、偏导数的定义多元函数的偏导数是对其中一元a来说的，把其余元看成不变量，求导得到的就是关于a的偏导数。（实质，求偏导数就是求一元函数的导数）定义：①②（这个是自己编的，不过后来发现是正确的）2、偏导数的物理意义上式表示，空间一曲面，与y=y0平面相交得一条曲线，曲线上的x0处的斜率即是上式表示的偏导数。 一元中，导数存在必然连续，但是二元中，偏导数存在不一定连续，这是因为，物理意义上讲，只能说当曲线在y=y0平面上趋近时，是连续的，但是多元函数连续的定义是任意方式趋近都存在一个值才连续。因此，偏导数存在不能说明多元函数连续。如图：3、高阶偏导数先对x求偏导，再对x求偏导，记为先对x求偏导，再对y求偏导，记为（称为混合偏导）因此从记号上我们就可以看出求偏导的顺序。但是有趣的是，求偏导无论顺序怎样，结果却都是一样的。即，其实知道顺序也没用，高阶偏导的结果与先对谁求的顺序无关。（课本定理）第三节 全微分1复习一元函数的微分微分创建之初就是为了求出增量的近似值。一元函数的微分有两个应用，一个是近似计算，特别是自变量增量越小，因变量增量计算越精准。二是用来估计误差。其公式是： 2、多元函数f(x,y…)增量的几个概念①偏增量：多元函数某一自变量增加△，其它自变量不变，因变量增加的△f是偏增量②全增量：多元函数所有自变量都增加△，因变量增加的△f是全增量3、二元函数全微分的定义（其它多元都类似）二元函数 则全增量 （注：这是全增量，不是全微分）和一元函数类似，二元函数中，上式的△z如果可以表示为 （注：这是全增量，不是全微分）形式，则称z=f(x,y)是可微的，把△z的线性主部部分叫做z=f(x,y)在(x,y)点处的全微分。用dz表示，即有：（注：这个是全微分）4、二元函数全微分与连续、可偏导之间的关系①首先复习一下一元函数中连续的定义（下面列4种+语言，共五种定义） ②可微一定连续。只要证 （连续的定义）即可。而，因此可微一定连续③可微一定可导（全微分里面的A，B就是偏导数，因此可微必须可导，见下面定理一的证明）④总结和扩展： 但函数可微不能推出偏导数连续其余关系均不成立。只要记住：多元函数中可微才是最牛b的，能推出连续和可偏导。除此之外，可偏导，连续什么都推不出来，除非可偏导且偏导数自身还要连续才能可微。5、可微，可导，连续的关系的证明和公式定理1：（必要条件）若f(x,y)在(x,y)处可微，那么一定存在偏导数 ，且全微分 即 定理1的证明：因为已知可微，