第一章泛函变分的基础概念(16K)..doc

第一章 泛函极值问题的一些基本概念 §1.1 泛函的极大值和极小值问题 如果函数在附近的任意点上的值都不大（小）于，也即时，则称函数在上达到极大（极小），而且在上，有 （1-1） 对于泛函,也有类似的定义。如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不大（或不小）于，也就是，如果（或）时，则称泛函在曲线上达到极大值（或极小值），而且在上，有 （1-2） 在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。 如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，也是极大（极小）值，所以泛函在曲线上是强极大（极小）值时，也必在上是弱极大（极小）值。反之，则不然，即泛函在曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，有一个比函数与导数都接近的所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。 这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。 §1.2 求解泛函极值的欧拉方程 变分法的早期工作是如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻立值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻立值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻立值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻立值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。 现在研究最简单泛函（1-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线的边界是固定不变的，而且有，，函数将认为是三阶可微的。 （1-3） 首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分 于是有 让，得 （1-4） 其中， 而且 对于固定边界条件，因为有，所以 （1-5） 将（1-5）式代入（1-4）式，得到变分极值条件 （1-6） 根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为 （1-7） 这里必须指出，上式中的第二项是对的全导数，不是偏导数，且，所以 （1-8） 其中，，都是对的二阶偏导数。，所以欧拉方程（1-7）式也可以写成 （1-9） 这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉－拉格朗日方程。 （1-9）式是关于的一个二阶微分方程，其积分常数有两个和，它的积分曲线叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函（1-3）式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过这两个端点条件所决定的。 把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程（1-7）式及（1-8）式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（1-3）式，因为积分限是固定的（不变的），所以有 其是从增量引起的，其主部为 于是得到（1-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。 这里还应指出，（1-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。 （1）和无关，即 （1-10） 于是（1-9）式可以写成 （1-11） 上式可以简化为 （1-12） 一次积分后 （1-13） 其中为积分常数。 （2）和无关，即 （1-14） 代入（1-7）式，