第七章定解问题..doc

数学物理方程 数学物理方程——从物理问题中导出的数学偏微分方程，有时也包括积分方程、微分积分方程 。 本课程介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关定解问题和这些问题几种常用解法。这三类偏微分方程是： 波动方程 输运方程 稳定的场方程 第七章 数学物理定解问题 教学目的：掌握根据物理规律和物理现象导出数学物理方程，写出定解条件的方法。 教学内容：1.导出数学物理方程，包括 1)波动方程(均匀弦横向振动和均质杆纵向振动)；2)输运方程(扩散、热传导现象)；3)稳定场分布方程。(2课时) 2．定解条件，1)初始条件；2)边界条件(第一、二、三类)。(1.5课时) 3. 达朗贝尔公式(简介)。(0.5课时) 重点：导出数学物理方程, 第一、二类边界条件。 难点：边界条件，方程中各偏导数的物理涵义。 定解问题： 1)数学物理方程——物理规律用偏微分方程表示出来——泛定方程 2)边界条件——区域边界所处的物理状况 3)初始条件——初始时刻的物理状态 边界条件＋初始条件——定解条件 §7—1数学物理方程的导出 波动方程 匀弦的微小横振动 弦的静态特点：质量分布均匀，线密度为ρ，自重可不计，完全柔软，平衡时沿x轴绷紧。 弦的运动特点：受外界扰动后，弦上质点在与x轴垂直的方向产生微小位移；相邻小元段弦之间有弹性力作用，弹性拉力的方向始终沿弦的切线方向，由于元段弦之间相邻的弹性力作用，任一小段弦有横向运动时必然带动相邻元段弦运动。平衡位置在x处的质元在t时刻的位移记为u(x,t)。 用牛顿定律讨论区间[x,x+dx]上小元段弦的运动(先假设除元段弦之间的张力外，不受其它外力作用) 考虑微小振动，很小，， ， 其中，，如果弦在振动过程中还受到外加横向力作用，设单位长度弦上所受的横向外力为F(x,t)，则 其中 均匀杆的纵振动 杆的质量分布均匀，密度为ρ，并假设杆上各段的横截面积S相同，杆的长度方向于x方向一致，杆上任一质点可沿杆长方向移动(纵向位移)，设t时刻平衡位置在x处的质点的位移为u(x, t)。 由于杆上的质点相互连接在一起，当杆上任一小段有纵向位移时它会带动相邻质点移动，并使邻近小段杆压缩或伸长，同时，这邻段杆自己也被邻段杆压缩或伸长，这样 ，任一小段的纵向位移必然会传播到整根杆，这就是波动。 把细杆分为许多极小的小段，拿区间(x, x + dx)上的小段B为代表加以研究。在小段杆的每个端面上受到的压力（或拉力）记为T，应力为P（单位横截面积上受到的力）。假设不受其它外力作用。在振动过程 中，小段B的两端受的力和位移分别为 根据牛顿运动定律 在力学中，应力P遵循胡克定律，在测量金属细丝的杨氏模量实验中，把胡克定律简单地表述为，是金属丝的长度，是伸长量，在现在研究的问题中，，，因此，胡克定律应表示为 即 其中。这是一维细杆的波动方程，推广到三维情况 如果除内力外，杆还受外力作用，称为受迫纵振动。设杆的单位长度上每单位横截面积上（也就是单位体积）所受的纵向外力为F(x, t) 这里， 相应的三维情况 二、输运方程 在这里，我们研究热传导问题和物质的扩散问题，两者归结为输运问题。当空间温度不均匀时，就会发生热传导；物质的浓度分布不均匀时，就会发生扩散运动。实质上两者都是扩散问题，只不过前者是能量的扩散，后者是物质（质量或分子数）扩散，两者遵循相似的物理规律。热传导（或物质的扩散）就是热量（或物质）的流动，流动的强度分别用热流强度和扩散流强度表示，两者都记为，表示单位时间里垂直流过单位横截面积的热量（或物质的量）。用表示空间的温度（或物质的浓度）分布。 1．热传导方程 在热传导问题中，热量的流动遵循傅里叶热传导定律： 叫作热传导系数，是温度梯度，“－”表示热量从高温向低温流动。考虑小体积，单位时间内净流入的热量为 ， 是包围小体积的闭曲面。假设小体积内没有热源或热汇（吸收热量，转化为其他形式的能量或用于物质的状态变化，不改变温度），热量流入小体积内，必然导致温度的变化，单位时间内温度的变化为，当为常数，物质分布均匀（密度为常数）时，根据能量守恒定律，热平衡方程为 　　　　　 如果在物体内部存在热源，热源强度(单位时间内在单位体积中产生的热量)为，单位时间内内净增加的热量为 如果热量仅沿x方向传导，如热传导发生在横截面积为S、侧面绝热、沿x轴方向放置的均质细杆中，一维热传导方程为 有热源时　　　　　　　　　　　　 2．扩散方程 在扩散问题中，物质的流动所遵循的规律为： 为扩散流强度，D叫作热扩散系数，是浓度梯度，“－”表示物质从高浓度向低浓度方向流动。同样考虑小体