第三部分代数结构练习题.doc

《离散数学》第三部分----代数结构 一、选择或填空 1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是( )，零元是( )。 2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是( )，零元是( )； 3、设〈G,*〉是一个群，则 (1) 若a,b,x∈G，ax=b，则x=( )； (2) 若a,b,x∈G，ax=ab，则x=( )。 4、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。 5、代数系统G,*是一个群，则G的等幂元是(　　　　)。 6、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。 7、群G,*的等幂元是(　　)，有(　　　)个。 8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则 (1) 若ca=b，则c=( )；(2) 若ca=ba，则c=( )。 10、H,,是G,,的子群的充分必要条件是( )。 11、群＜A,*＞的等幂元有(　　　)个，是(　　　)，零元有(　　　)个。 12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） (1) a*b=a-b　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|a-b| 14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 (1) 不可能是群　　(2) 不一定是群　 (3) 一定是群 　(4) 是交换群 15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 (1) 2阶　　(2) 3 阶 (3) 4 阶 　(4) 6 阶 16、下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,）　(2) （Z,） (3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） 　(4) (P(A),) 18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 (1) 偶数　(2) 奇数 (3) 4的倍数 　(4) 2的正整数次幂 五、证明或解答： 1、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。 解： 2、求下列置换的运算： （1）;（2） 3、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试问I,*是循环群吗？解： 4、设G,·是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H 是G 的子群。 证明： 5、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。 证明： 6、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。 证明： 7、设G,·是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。试证a·bb·a。 证明： 8、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试证：I,*为群。 证明： 9、单位元有惟一逆元。 证明： 10、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|1，则e0。 证明： 11、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。 证明： 12、证明在一个群中单位元是惟一的。 证明： 13、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。 证明： 14、设G,是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。 证明： 15、设半群S,·中消去律成立，则S,·是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。 证明： 16、设G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正幂，则 （1） H＝(am)； （2） 若G为无限群，则H也是无限群； 证明： 17、在一个群G,*中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。 证明：  6