第九次习题课讨论题参考解答_896403002..doc

第九次习题课讨论题参考解答 5月28日和29日 本次习题课讨论题涉及以下四个问题。 曲线曲面积分续。 Green定理的应用续。 Gauss公式和Stokes公式的应用。 积分关于路径的无关性 曲线曲面积分续。 1．记为圆周，从Ox轴的正向看去，圆周的正向为逆时针方向。写出的参数方程，并利用这个参数方程来计算线积分 。 （注：我们将在第三部分的第3题，利用Stokes公式更简单地计算上述线积分。） 解：在球坐标下曲线的方程为 ，由此得到的参数方程 ，参数增加为曲线正向， 代入曲线积分式，得 。 解答完毕。 2．求积分 ，其中为长方体 的边界，正法向朝外，函数,和均为连续函数。 解：边界面由6个平面构成，其朝外的单位法向量分别为： ：，：， ：，：， ：，：， 所以 。 同理 ， 。 因此 。解答完毕。 3．设为锥面位于的那一部分，正法向向下。设为流体运动的速度场。求流体在单位时间里通过定向曲面由内向外的流量Q，即求曲面积分。 解：简单计算可知曲面（锥面）的单位法向。由于的正法向向下，由此可知，的单位正法向为。于是所求流量为 。 解答完毕。 4．记为园柱面位于的部分，外法向为正，计算曲面积分 。 解法1：记向量场。由假设的单位正法向量，当。曲面在柱面坐标下的方程为，，，，。记。则，。于是 。这表明与的单位正法向量一致。因此 。 解法2：记立体，，，正法向向下，，，正法向向上。根据Gauss公式得 ．简单计算得到，。因此原积分。解答完毕。 二．Green定理的应用续。 1．(利用 Green 定理证明平面面积变换公式) 回忆平面面积变换定理: 设是平面域上的微分同胚，即是1-1映射且其逆也是连续可微的.假设开区域及其边界均属于的定义域。记开区域在映射下的象为，即。根据曲面面积公式知的面积公式为，这里，表示映射的两个分量函数。试利用Green公式来证明上述面积变换公式。 证明：设开域的边界有正则的参数表示，，，并且的正向（逆时针）与参数增加的方向一致，那么区域的边界有相应的参数表示 ，，。 这是因为微分同胚映内点为内点，映边界点为边界点。因此。假设映射 保持定向，即它的Jacobian行列式在其定义域上恒大于零, 即， ，则的正向与参数增加的方向一致. 于是根据Green公式提供的面积公式得的面积为 。 对上式最后一个积分应用Green公式得 。 注意这里我们要求微分同胚为二阶连续可微。证毕. 2．计算线积分，其中为，逆时针为正向。 解：记，。不难验证。因此向量场是无旋场。记，逆时针为正向。在由正方形和椭圆所围成的有界域上，应用Green公式的旋度形式得 。对线积分再应用Green公式的旋度形式得。解答完毕。 3．设为有界开区域，它的边界是逐段光滑曲线，是的外单位法向量，设函数，且在内为调和函数，即，。求证： (i) ； (ii) ； (iii) 若在边界上，，求证， 。 解： (i)由于,。（应用Green公式散度形式）。 (ii) 。（这里用到了假设。） (iii) 由(ii)的结论可知，若，，则，。 即，，，所以，从而， 。证毕。 已知函数在整个实轴上二次连续可微，满足，且使得微分式 是全微分，求，并使由到逐段光滑曲线上积分的值为。 解：由假设微分式是全微分，故 ，即。这是关于未知函数的二阶常系数线性常微分方程。根据线性ODE一般理论知，对应的齐次方程通解为。另一方面不难看出方程 有一个特解。因此原方程的通解为。关于函数的两个条件，条件，以及条件由到逐段光滑曲线上积分的值为，可以唯一确定两个常数，。对求导得 ，， 。于是 ，。 由到积分得 得。于是。解答完毕。 设是实轴上处处为正的连续函数，为圆心在原点的单位开圆盘。 证明：(i)； (ii)。 证明：对等式(i)的两边线积分，分别应用Green公式的旋度形式得 左边，右边。 由于积分区域为单位圆盘，故上述两个二重积分相等。因此等式(i)成立。 注：对上任何一个二重积分中，作变量代换，就得到另一个二重积分。 (ii) 类似，我们不难看出 ，。 这表明，在如下两个二重积分中， 和 。 将被积函数中的变元换为，并不改变积分的值。因此 。 由于。 因此 。证毕。 Gauss定理和Stokes定理的应用。 1．设为由圆锥面:和平面所围成的圆锥体。 (i) 证明设此圆锥体的体积可以表示为，其中为区域的边界曲面，为其单位外法向量，． (ii) 圆锥体的体积也可以表示为 ，其中为圆锥的底面积，为圆锥的高． 证明： (i) 根据Gauss公式得 故。（注：这个结论不仅仅