第九章FIR数字滤波器设计20150907..docx

第9章 FIR数字滤波器设计教学目标通过本章的学习，理解FIR数字滤波器的设计机理；掌握FIR数字滤波器的基本设计方法，包括：窗函数法、频率采样法等；掌握使用MATLAB实现以上设计方法的基本函数和设计流程。9.1 引言IIR数字滤波器虽然有许多优良的特性，但是也有一些缺点，例如，设计IIR滤波器必须注意稳定性问题，再者若想利用快速傅里叶变换技术进行快速卷积实现滤波器，则必须要求单位脉冲响应是有限长的。此外，IIR滤波器的优异幅度响应，一般是以相位的非线性为代价的，非线性相位或引起频率色散。而FIR滤波器具有严格的线性相位特性，并且FIR滤波器的单位脉冲响应仅含有有限个非零值，是因果有限长序列，因此稳定性能够得以保证。本章首先介绍较易掌握的窗函数法，基于对指定的频率响应的傅里叶级数进行截断来设计FIR数字滤波器；而后，介绍一种等波纹线性相位FIR数字滤波器的设计，主要采用加权切比雪夫逼近方法；其次，介绍一种频率采样方法，从FIR数字滤波器系统函数之间存在频率抽样关系的角度设计滤波器。最后，应用MATLAB对以上算法加以实现，并针对生物医学信号的特点进行了滤波器的设计。9.2 FIR数字滤波器设计的基本方法与IIR数字滤波器的设计不同，FIR滤波器的设计与模拟滤波器的设计没有任何联系。故前一章所讨论的各种变换法对FIR滤波器不适用，因为它们给出的是IIR函数。FIR滤波器的设计基于对给定幅度响应的直接逼近，同时还需要考虑线性相位响应。一个长度为的FIR滤波器传输函数是的次多项式，其对应的频率响应函数为： (9.2.1)由于任何长度为的有限长度序列的特性可由其离散时间傅里叶变换的个样本来描述，故要设计一个长度为的FIR滤波器，即可利用冲激响应序列或其频率响应的个样本来进行。此外，同样也需要估计FIR数字滤波器的阶数。下面介绍两种常用的估计数字滤波器阶数的最小值方程。Kaiser方程： (9.2.2)其中，为归一化通带边界角频率，为归一化阻带边界角频率，为峰值通带波纹，为峰值阻带波纹。Bellanger方程： (9.2.3)以上两种阶数估计方法同样可以应用于估算高通、带通和带阻FIR滤波器的阶数。下面介绍几种具体的用于设计FIR数字滤波器的方法及MATLAB实现过程。9.3 窗函数法设计FIR数字滤波器窗函数法，也称为傅里叶级数法。一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应，要求设计一个FIR数字滤波器，使其频率响应无限逼近。由于该设计过程通常都是在时域进行的，因而先由的傅里叶逆变换得到，即 (9.3.1) (9.3.2)一般来说，理想的选频滤波器的是逐段恒定的，且在频带边界处有不连续点，因此序列是无限长的，这时不能用(9.3.1)式中的傅氏级数系数来设计滤波器。因为第一，滤波器的单位取样响应是无限长的，n从到无法求和；第二由于是从开始的，所以是非因果的，且不能用有限的延时来实现它。 为解决上述问题，可采取如下办法用有限项和来逼近无限项和。由傅里叶级数理论可知，(9.3.1)式级数的有限部分和是在均方意义下的最优逼近。这时用到的单位脉冲响应显然是的一段，是有限长的。将有限长的进行(N-1)/2的有限延时，从而由非因果的系统得到了因果的系统。幅频特性完全不被时延所影响。因为时域的延时，在频域相应于线性相移，往往可以忽略。所以要用有限长的来逼近无限长的，最有效的方法就是截断，也就是用一个有限长度的窗函数序列来截取，即 (9.3.3)由此可见，窗函数序列的形状及长度的选择是该方法设计FIR滤波器的关键。加窗处理对理想矩形频率响应会产生如下影响：第一，使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。第二，在截止频率的两边的地方(即过渡带的两边)，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。第三，增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为： (9.3.4)其中。可见，改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度、改变坐标的比例以及改变的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，这个相对比例是由决定的，也就是说只由窗函数的形状来决定。表9.3.1归纳了几种常用窗函数的主要性能，供设计FIR滤波器时参考。表9.3.1 几种常用窗函数的主要性能参数 窗函数 主瓣宽度 精确过渡带旁瓣峰值衰减 /dB阻带最小衰减/dB 矩形窗4π/N1.8π/N-13-21 三角窗8π/N6.1π/N-25-25 汉宁窗8π/N6.2π/N-31-44 海明窗8π/N6.6π/N-41-53 布拉克曼窗 12π/N11π/N-57-74 贝塞尔窗 自由选择10π/N-57-80窗函数法设计数字滤波器的基本步骤如下：获取所要求的频率响应函数；利用式(9.3.2)求；由过