第九章_空间轴对称问题..doc

第九章 空间轴对称问题 本章讨论一下空间轴对称问题的基本方程和一些轴对称问题的基本解。对于一般空间问题的解法我们在第五章已有讨论，但一般空间问题一般解（具体求解）通解讨论在杜庆华等编著的“弹性理论”中有较多的论述。我们不刻意从数学上论述一般空间问题一般解的表达式，而对于空间轴对称问题作一些讨论和举例。 第一节 空间轴对称问题的基本方程 1.1空间轴对称问题特点： 与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴）对称，导致如下简化，（参见徐芝纶（上册）第八章第八节(P.274）。 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、应力、应变）均为r、z的函数。 2．荷载：体力f?=0，面力 ，位移u?=0，应力? r?=? z?=0，应变? r?=?z?=0。 3．存在物理量：fr、fz、ur、w、?r、??、?z、? rz=? zr、?r、??、?z、? rz=?zr 1.2基本方程： 1.平衡微分方程（两个）： 第一 第三 2.几何方程（四个）：，，， 3.变形协调方程（四个） 4.物理方程（四个）： ?r=?e?2G?r、??=?e?2G??、?z=?e?2G?z、? rz=G? rz 其中 ——体积应变 或 , , , 5.边界条件 位移边界： , 在Su上 力的边界：在 r=r0 , 在z=z0 , 6.按应力解法 四个应力分量?r、??、?z、? rz为基本未知量。 基本方程（六个）： 两个平衡微分方程 四个用应力表示的变形协调方程 再加上力的边界条件。 如果体力为零时，基本方程为齐次方程，则可采用应力函数解法，引入应力函数?(r,z)，使得应力用?(r,z)表示: 满足第一个平衡微分方程，而第二个平衡方程及四个相容方程，共同要求 ?2?2?=?4? =0 ——?(r,z)应满足的基本微分方程。 其中 7．按位移法解 a．基本未知函数： ur和w 基本方程两个： 并考虑适当的边界条件。 b. 引入Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时） 对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次方程的通解。 轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个Love位移函数?(r,z),使得位移由?(r,z)表示： , , 代入齐次拉梅方程，第一式自然满足，而第二式为基本方程： ? 4?=0 ?(r,z)——为双调和方程 同时应力分量由?(r,z)表示为 轴对称问题按位移求解，归结为寻找一个恰当的重调和函数?(r,z)，使按其导出位移和应力能满足给定的边界条件。 比较应力函数解法和love位移法知：? (r,z)= ? (r,z) 第二节半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题） 半空间体，体力不计，边界受法向集中力P作用. 轴对称问题P作用在坐标原点上。 已知，当z=0且r ?0时, ?z=0 , ? zr= 0； 当R?? 时R=(r2+z2)1/2， 应力、位移? 0； 当R? 0时，应力奇异。 Boussinesq采取Love函数求解， ?(r,z)为重调和函数，由?(r,z)的三次微分导出应力。 选 ?(r,z) 为r和z的正一次幂式: ?(r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数 则 ?(r,z) 自然满足 ? 4?=0 。代入位移、应力计算式 位移：， 应力： ， ， ， 下面根据边界条件来确定A1和A2： 在z=0且r ?0边界上, ?z=0 自然满足。 在z=0且r ?0边界上, ? zr= 0 ? （1-2?）A1+ A2 = 0——(a) 还需一个条件（包括P的）。 在z= z0 ? 0平面上， 要求?z 的合力与P平衡。 将?z 表达式代入，得 而 ， P - 4?A1(1-