第二章内积空间..doc

第二章 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道在中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。 §2.1欧氏空间与酉空间 欧氏空间与酉空间 定义1 设是上的线性空间，如果中每对向量，按某一对应法则都有唯一确定的实数与之对应且满足： ， ， 等号成立当且仅当 则称为的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间为欧几里得空间，简称欧氏空间，称为的长度或模。 例1 在中定义，，则构成一个欧氏空间。 例2 在中对定义,则为欧氏空间。 证明 因为 （1） （2） （3） （4） 等号当且仅当成立 故为欧氏空间。 例3 定义，则是维欧氏空间。 例4 设为阶正定阵且定义，则是维欧氏空间。 证明 （1） （2） （3） （4）因为正定二次型，故， 注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。 由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。 矩阵共轭及共轭转置：设 ，，称为的共轭。 ，。 ，。 记，称为的复共轭转置矩阵，。 ，。 ，。 ，。 ，。 ，。 若，则称为埃尔米特（Hermite）矩阵，。 若，则称为反埃尔米特矩阵， 定义2 设是上的线性空间，若有且满足： ， 等号成立当且仅当 则称为的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间为复内积空间或酉空间，称为的长度或模。 例5 在中定义，则是酉空间。 注：在（）中定义的内积（）称为标准内积。以后若无特殊说明，（）及其子空间的内积均采用标准内积。 例6在中对定义,则为酉空间。 证明 与例2类似，请读者自证。 二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设是酉空间的内积，则 （1），， （2）， （3）， 其中，，，。 证明（1） （2） （3）由定理1的（2 ）得 上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设是欧氏空间的内积，则 （1），， （2）， （3） 其中，，，。 定理2 设是酉（欧氏）空间的内积，则 （1），（）。 （2），柯西—许瓦兹（Cauchy––Schwarz）不等式 （3） 证明 不妨设是酉空间。 （1）。 （2）时显然，不妨设，考虑 取，则 所以 （3） ， 由柯西—许瓦兹不等式，即得 所以 三、内积在基下的矩阵 线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。 定义3：设为欧氏（酉）空间的基，则称为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵，其中。 定理3设为酉空间的基，则 （1） 内积在基下的矩阵是埃尔米特矩阵，即。 （2），其中，，。 （3）均有。 证明 （1） 由于，故。 （2） 设，由定理1有 （3），所以。 在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。 推论2 设为欧氏空间的基，则 （1） 内积在基下的矩阵是实对称阵，即。 （2），其中，，。 例7 ，定义，则为欧氏空间，求内积在基下的矩阵。 解 ，， ， 因为是实对称阵，所以。 定理4 设欧氏（酉）空间的内积在两组基和下的矩阵分别为，且 ，则，即与合同。 证明：设 ，，则 = 所以 故由定理3有 所以 §2.2向量的正交与标准正交基 一、向量的正交与标准正交基 定义1 设为欧氏（酉）空间，，如果，则称向量与正交，记为。 在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个欧氏（酉）空间，则向量在这两个欧氏（酉）空间的正交性不一定相同，如下例。 例1在中定义内积，得欧氏空间，定义内积，得欧氏空间，取，则在中，在中与不正交。 定义1 设为欧氏（酉）空间，是中非零向量组，如果两两正交，则称是正交向量组。若是正交向量组且都是单位向量（即），则称是标准正交向量组。 定理1 正交向量组是线性无关向量组。 证明 设是正交向量组，令，则 因为 所以 故线性无关。 定义2 若为欧氏（酉）空间的基