第二章变分原理..doc

第二章 变分原理 变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。 § 2.1 历史上著名的变分法命题 历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。 1、最速降线命题 1695年，Bernoulli以公开信方式提出了最速降线命题。如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A、B两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB光滑下滑的时间最短。 设A点与坐标原点O重合，B点的坐标为(x1,y1)，滑体质量为m，从O点下滑至P点时的速度为v，根据能量恒原理，有： (2-1) 用s表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图 (2-2) 曲线弧长为： (2-3) 于是，时间为： (2-4) 下降时间为： (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为： (2-6) 2、短程线命题 设是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B两点，试问如何连接可使此曲面上A、B两点间的距离最短。 设A点的坐标为、B点的坐标为，在曲面上A、B两点的曲线长度为： (2-7) 其中，是满足曲面的约束条件。 3、等周命题 等周命题为在长度一定的闭合曲线中，什么曲线围成的面积最大。 图2-2 短程线 设所给曲线的参数方程为，因这条曲线是封闭的，在这条曲线的始端和末端，有。该曲线周长为： (2-8) 由于该曲线封，根据格林公式： (2-9) 该曲线所围成的面积为： (2-10) 于是等周问题可以归纳为在满足和式(2-8)条件下，从所有可能函数中选择一对函数使面积最大。 § 2.2 泛函的概念 在函数论中，自变量对应着另一变量，则变量称为自变量的函数。假如自变函数对应着另一个函数，则称为泛函。函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系。泛函是函数的函数，是函数的广义函数。 通过微分学和变分学对比，可理解变分特性。 2.2.1 微分和变分 函数的自变量的增量是=-，当是独立变量时，的微分等于的增量，即；泛函的自变函数c的增量在它很小时称为变分，用或简单地用表示。变分等于与跟它相接近、并通过边界的另一个函数之差，即=-。特别指出的是，变分不是常值，而是通过边界条件的函数。两个自变函数相接近的意义可有不同的理解，最简单的理解是在任意值上和之差很小，即： - (2-11) 这种接近称零阶接近度，如图2-3所示。很明显，这时之差不一定是微量。如果满足零阶接近，同时满足自变函数的斜率也很接近，即： (2-12) 这种接近称一阶接近度，如图2-4所示。 图 2-3 零阶接近