第二章条件极值问题的变分法(16K)..doc

第二章 条件极值问题的变分法 §2.1 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子 这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。 对于一个函数，如，其绝对极小值是根据下面条件求得， （2-1） 解（2-1）式，可以求出相应的解，将与代入函数则可获得函数的绝对极小（极大）值。 如果我们给定一约束条件，则表示在给定的约束条件的情形下，求的极值。显然，这种带有约束条件下求极值，相当于把所求范围缩小了，如果存在有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。 对这类条件极值问题，一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理解，的极值条件可以写成 （2-2） 约束条件可以写成 （2-3） 因此（2-2）式中的,不是独立的，而是由（2-3）式的微分关系式 （2-4） 连系着的。假定，解（2-4）式，得 （2-5） 而（2-2）式可化为 （2-6） 于是把（2-6）式与（2-3）式连在一起，是求解极值点的两个方程式。 如果用拉格朗日乘子法，可构造以下函数，如 （2-7） 式中称为拉格朗日乘子。的极值条件为 （2-8） 这里把都看作是独立的任意变量，于是从（2-8）式可得到 ，， （2-9） 消去，得 ， （2-10） 这与（2-3）式和（2-6）式完全相同，所以用拉格朗日乘子法与上面介绍的方法是等价的。 现在让我们在约束条件 （2-11） 下求函数 （2-12） 的极值，其中。同样可用拉格朗日乘子法，设拉格朗日乘子为，并用 （2-13） 把作为,的个独立变量的函数，求其极值。 （2-14） 由于都是独立变量，于是由，得 （2-15） 这是求解个变量的个方程。 （2-15）式还可以通过以下方法求得。 （2-12）式的变分极值要求 （2-16） 因为有（2-11）式的个约束条件，所以这些中只有个是独立的。从（2-11）式的个约束条件可以求得下列微分条件 （2-17） 将（2-17）式乘以，与（2-16）式相加，得 （2-18） 这里的是任选的，如果我们选择个待定的，使下面个条件 （2-19） 满足，则（2-18）式就可以写成 （2-20） 这里是作为独立量出现的，于是 （2-21） 将（2-19）、（2-21）及（2-11）式合在一起，即可得到（2-15）式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。 §2.2 泛函在约束条件下的极值问题 泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。 【定理】 泛函 （2-22） 在约束条件 （2-23） 下的变分极值问题所确定的函数，必满足由泛函 （2-24） 的变分极值问题所确定的欧拉方程 （2-25） 其中为个拉格朗日乘子。我们把和都看作是泛函的变量，所以同样也可以看作是泛函的欧拉方程。 （2-25）式也可以写成 （2-26） 现在让我们证明这个定理。首先求泛函（2-22）式的变分，它经过分部积分（用端点给定不变的条件）可以写成 （2-27） 注意到这里的不是独立的，它是由约束条件（2-23）连系着的。设为特定函数，于是有 （2-28） 变分得 （2-29） 把（2-27）式和（2-29）式相加，记，得极值条件 （2-30） 因为是个任意特定函数，假定这个函数由下列个线性方程决定的， （2-31） 这里只要求行列式 （2-32） 就可以从（2-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根据（2-31）式，变分方程（2-30）式中，剩下的变分项只有关系到等项了。即 （2-33）