第二章特殊的线性空间..doc

特殊的线性空间 在线性空间中，定义了空间中两元素间的加法运算及数域中的数与空间中元素的数乘运算。本章将给出线性空间中向量间的内积运算，从而得到了内积空间；并定义一个从线性空间到实数R上的一个实值函数即范数的概念，得到赋范线性空间。 §2.1 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻画的，现在将把内积的概念推广到一般的线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。 2.1.1内积空间的基本概念与性质 定义1 设是数域上的线性空间，如果中每对向量按某一对应法则都有惟一确定的数与之对应，且满足： （1）； （2）； （3）； （4），等号成立当且仅当， 则称为与的内积。定义了内积运算的线性空间称为内积空间。 特别地，若数域取复数域，则称定义了内积的有限维线性空间为酉空间。若数域取实数域，则称定义了内积的有限维线性空间为欧几里得空间，简称为欧氏空间。欧氏空间和酉空间都是常用的内积空间。 例1 在中定义 ，显然满足定义1中的四条，因此是一种内积运算，所以是维欧氏空间。 例2 在中定义 ，(其中),不难证明是酉空间。 一般地，若，记，称为的共轭；记，称为的共轭转置。 此外，若，称是埃尔米特（Hermite）矩阵；若，称是反埃尔米特矩阵。显然埃尔米特阵是实对称阵的推广。 由于在酉空间中经常要用到复矩阵，故先了解一下矩阵的共轭及共轭转置的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）。 例3 在中对任意定义，则为酉空间。 证明 对任意,有 （1）； （2）； （3）； （4），当且仅当时等号成立， 所以为酉空间。 例4 对任意定义，则为欧氏空间。 例5 设为阶正定阵。对任意定义 ，则是维欧氏空间。 证明 对任意,有 （1）； （2）； （3）； （4）因为是正定阵，所以，当且仅当时等号成立， 所以为欧氏空间。 在例5中，如果取不同的正定矩阵，那么由其定义的内积是不同的，也就是说，在同一个线性空间里可以定义不同的内积，所得到的欧氏空间我们视为不同的内积空间。 一般地，我们将例1与例2中定义的内积称为标准内积。以后若无特殊说明，（或）及其子空间的内积均采用标准内积。 由内积的定义，我们不难得到内积的如下性质。 定理1 设是酉空间的内积，则 （1）； （2）； （3），其中， 。 证明 （1）； （2）； （3）由性质（2）显然成立。 一般地，在维内积空间中，若已知基向量之间的内积，那么任意两向量间的内积就都可以得到了。这是因为，若设是酉空间的基，且与是中两个向量，那么与的内积为 （2-1） ， 其中，。 显然若是欧氏空间，则。 2.1.2内积在基下的矩阵 定义2 设是酉（欧氏）空间的基，令，称为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵。 由前面的讨论不难得到下面的定理。 定理2 设是酉空间的一组基，且内积在这组基下的矩阵是，那么 （1）矩阵是埃尔米特矩阵，即； （2）若设，，，则； （3），且，均有。 证明 （1）设，则，由于 所以。 （2）由式（2-1）知其显然成立。 （3）若，则，从而 。 推论 设是欧氏空间的一组基，且内积在基下的矩阵是，那么 （1）矩阵是对称矩阵，即； （2）若设，，，则； （3），且，均有。 例6 在中定义内积，则是欧氏空间， 求（1）内积在基下的矩阵； （2）与的内积。 解答 （1） ，， ，，，， 所以内积在基下的矩阵为 （2）法1 ； 法2 因为 在基下的坐标分别为， ，从而 。 可以看到计算向量间的内积既可以利用内积的定义方式直接计算，也可以利用内积在基下的度量矩阵计算，结果是一样的。 对于同一个内积空间，当取的基不同，则对应的度量矩阵一般来说也是不同的，下面我们给出它们的关系。 定理3 内积在不同基下的度量矩阵是合同的。 证明 设酉（欧氏）空间的内积在两组基和下的矩阵分别为,令，，，，且。 又设与是中任意两个向量，它们在基下的坐标为与，那么有 则与在下的坐标分别是与，从而 由与的任意性，得 即是合同矩阵。 §2.2标准正交基与向量的正交化 由于向量与其自身的内积满足，故可以利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹角、正交等概念推广到一般的内积空间。 2.2.1向量的度量性质 定义1 设是酉（欧氏）空间，，称为向量的模（或范数）。如果，则称为单位向量。 如上面定义的向量的模与线性代数中空间的向量的模是一致的，性质也是相同的。 定理1 设是酉（欧氏）空间的内积，则 （1）； （2）； （3）。 证明 不妨设是酉空间。 （1）； （2）时显然成立，不妨设，，有 ， 若取，可得 ， 即 （3）因为 ， 那么由本定理结论（