第六章广义逆矩阵..doc

第六章 广义逆-逆及矩阵Drazin逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设为复维向量空间为复矩阵全体设矩阵考虑线性方程组 （6-1） 其中，为给定的维向量为待定的维向量1 若存在向量满足线性方程组为可逆矩阵时线性方程组，其中是的逆矩阵为不可逆矩阵或矩阵时线性方程组，使得 （6-2） 成立，其中代表任意一种向量范数。上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式是某个矩阵？ 这个矩阵是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2，若存在矩阵满足下列Penrose方程 （1）； （2）； （3）； （4） 则称为的Moore-Penrose 逆，记为。 例1 由Moore-Penrose逆的定义不难验证 若，则； 若，则，其中； 若，其中是可逆矩阵，则 ； 若是可逆矩阵，则。 定理1 对于任意矩阵，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。 证明 存在性。设矩阵有奇异值分解 ， 其中，为酉矩阵，，的正奇异值为，。容易验证 满足定义2中的四个Penrose方程，所以，总是存在的。 唯一性。设均满足定义2中的四个Penrose方程，则 所以是唯一的。 更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方 程的广义逆。 定义3 设矩阵，若矩阵满足Penrose方程中的（），（）， ，（）等方程，则称为的-逆，记为。 由定义3与定义1可知，。因为对于任意都 有为的-逆，所以利用定理1可知总是存在的。但是除了是唯一确定的之外，其余各种-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将的-逆全体记为。如果按照满足Penrose方程个数进行分类，-逆矩阵共有种。但应用较多的是以下5种： ， 其中，最为基本，最为重要。称为自反广义逆，称为最小二乘广义逆，为极小范数广义逆。 例2 设矩阵，其中为可逆矩阵，且，则容易验证。 例3 设矩阵。 （1）若，此时为可逆矩阵，容易验证 ; （2）若，此时为可逆矩阵，容易验证 。 除了以上广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念。 定义4 设矩阵，若矩阵满足 （1）； （2）； （3）； 则称为的群逆，记为。 从定义4可以看出，群逆是一个特殊的虽然总是存在的但是这种群逆Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。 定义5 设矩阵，称满足 的最小非负整数为的指标记作是非奇异的则若是奇异的则1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念，其指标为，若存在矩阵满足； （2）； （3）； 则称为的Drazin。 易见，若矩阵的指标为则的Drazin-逆的性质与计算 由于-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出-逆的基本性质与计算方法。 6.2.1 -逆的存在性 定理1，其秩为。若矩阵的等价标准形为 ， 其中分别为阶和阶可逆矩阵，则矩阵的所有-逆的集合为 。 证明 设矩阵为的任意一个-逆，则其满足 。 于是， 。 因为分别为阶和阶可逆矩阵，上式等价于 。 令，则由上式可以推出，而是任意的，故 ， 即 。 因此，此定理结论成立。 由此定理的证明过程可知矩阵的-逆一定存在，但由于的任意性得矩阵的-逆不唯一。 6.2.2 -逆的基本性质 关于-逆的基本性质，有如下定理。 定理2，，则 （1）； （2）若矩阵，则，并且的-逆是唯一的； （3），其中； （4）设分别为阶和阶可逆矩阵，则 ； （5）； （6）与都是幂等矩阵，且 。 证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。 由于 ， 所以结论成立。 由于 ， ， 所以，与都是幂等矩阵。 又由于 ， 所以 ， 同理 ， 因此，结论成立。 6.2.3 -逆的计算 定理1给出利用等价标准形求-逆的方法。 例1，求，并具体给出一个。 解答 由于 ， 现令，，所以矩阵的等价标准形为 ， 利用定理1可得 ； 令均为零矩阵时，得到一个最简单的-逆如下： 。 §6.3 Moore-Penrose广义逆的性质与计算 由于Moore-PenroseMoore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。 6.3.1 Moore-Penrose广义逆的计算 Moore-Penrose广义逆总是存在的并且给出了利用奇异值分解Moore-Penrose广义逆的方法Moore-Penrose广义逆的方法定理设矩阵其满秩分解为，其中，为行满秩矩阵，则。 证明 因为，与。令 不