第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)..doc

第六章 能量泛函的转换形式及其应用 §6.1 总位能泛函转换形式及其应用 由§4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即 （4-16） 该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即 所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。 【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。 图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷，简支端（）作用一集中力矩，梁的另一端为固持。显然，其边界条件为 ： ：，及 6-1） 总位能泛函根据定义可写为 （6-2） 其中 （应变能） （6-3） （外力位能） （6-4） 上面各式中，表示挠度，它是坐标的函数，而与分别代表及。 现在对总位能取一阶变分， （6-5） 当弯曲刚度沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green公式，可得 （6-6） 将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得 （6-7） 现令（6-7）的，利用变分法中的预备定理，可得到 （6-8） （6-9） （6-8）式即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，（6-9）式为力的边界条件，即相当于（6-1）式中的最后一个公式。 以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价于平衡方程的。 应当指出，方程（6-8）对自变量即挠度要求它具有四阶可微，而泛函（6-2）中最高可微阶次为两次。显然，定义泛函的自变量的因次可能满足不了平衡方程（6-8）的要求，从这一点来说，直接利用泛函（6-2）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可能要低得多，这对选择自变量的函数形式带来方便。 在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。 【例2】 图6-2为一维梁元素，节点位移分别为，下标1代表节点1的，下标2代表节点2的，节点位移列阵为 （6-10） 因为节点位移有四个，我们以3次多项式表达挠度，即 （6-11） 或 （6-12） 式中： 显然，（6-11）式的阶次并不满足平衡方程式（6-8）。利用节点位移（6-10）式，可得 （6-13） 则（6-12）式化为 （6-14） 式（6-14）中的矩阵为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。 下面由式（6-14）式导出几何矩阵，梁的弯曲应变为 （6-15） （6-15）式中的阵为 （6-16） 将（6-14）式中的代入（6-16）式，可求出几何矩阵为 最后，利用（4-16）式求出梁的总位能泛函为 （6-17） 式中为梁的抗弯模量，为梁横截面关于轴的惯性矩。 由泛函的驻值条件，即，可得 （6-18） 式中 （6-19） 为梁元素的等效节点力。 利用能量法求近似解的方法较多，其中Rayleigh-Ritz法是一种有效而应用得比较多的一种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数来离散实际位移，如 （6-20） 为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以为独立变量的泛函如 利用泛函驻值条件， （6-21） 得到一组代数方程式， （6-22） 譬如对于图6-1所示的一端固持一端简支的梁，（6-1）式表示其边界条件。现取 （6-23） 显然，（6-23）式是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度可取为 （6-24） 这类函数的形式甚多，这里不在列举。 【例3】 薄板的总位能泛函及其变换形式。 总位能