第十一章有限元分析法概述..doc

第十一章 有限元分析方法概述 1、基本概念 有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。 下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。 如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。其中，杆的上边宽度为，下边宽度为，厚度为，长度为，杆的材料弹性模量为。已知＝4450N，＝50mm，=25mm，=3mm，=250mm，=72GPa。 ① 采用解析法精确求解 假设杆任一横截面面积为，其上平均应力为，应变为。根据静力平衡条件有： 根据虎克定律有： 而任一横截面面积为： 任一横截面产生的应变为： 将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有： 沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得： 将表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量： 当分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为： ② 采用数值解法近似求解 将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。这样，变横截面杆就可以用5个节点和4个单元组成的模型来近似表示，如右图所示。 假设任一横截面面积为A、长为的等截面直杆，在轴向拉力F的作用下产生变形量，则该直杆横截面上的应力和应变分别为： 根据虎克定律： 可得： 上述方程与线性弹簧的方程极为相似，表明一个中心点集中受力且横截面相等的等截面直杆可以等效为一个弹簧，其等效刚度为: 因此，变横截面杆可以看作由四个线性弹簧串联起来的模型来近似表示，如下图所示，每一个单元都可以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程： 下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡条件，每一个节点上的受力总和为0，即： 节点1： 节点2： 节点3： 节点4： 节点5： 将反作用力R1和外力P从内力中分离出来，重新对上述五个方程组成的方程组进行变换，得： 节点1： 节点2： 节点3： 节点4： 节点5： 将上述方程组写成矩阵形式，有： 将反作用力和外力分离出来，可以重组上述矩阵，得： 写成一般形式，可得： 即表示： 引入边界条件，根据本题的要求，节点1的位移为0，即 ，则有如下矩阵形式： 通过求解上述矩阵方程，可得每个节点的位移，进而可以求得每个节点的反作用力，每一个单元的应力和应变。即： 根据变横截面杆结构的已知参数可得： 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 每个单元的等效刚度系数 总体刚度矩阵： 应用边界条件和负荷，可以得到： 求解该方程，可得： 而第一种精确求解方法求得的每个节点处的位移分别为： 比较两种结果表明：采用数值解法近似求解的结果与解析法精确求解的结果相当接近，如果将变横截面杆沿杆长方向分离成的单元越多，数值解法求解的结果将与精确解法求得的结果误差将会越来越小。 2、有限元法的分析过程 2.1 连续体离散化 所谓连续体是指所求解的对象（物体或结构），所谓离散化就是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。因而，相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，用这些有限个单元构成的集合体来近似代替原来的连续体。这种由单元和节点构成的集合体称为有限元分析模型。 离散化也称为划分网格或网格化。单元划分后，给每个单元及节点进行合理编