第十五章常微分方程的解法..doc

第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数连续，且关于满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数，使得 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解在若干点 处的近似值的方法，称为问题（1）的数值解，称为由到的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i）用差商近似导数 若用向前差商代替代入（1）中的微分方程，则得 化简得 如果用的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，记为，则有 （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 （3） 得到，按式（2）由初值可逐次算出。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。 需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。 （ii）用数值积分方法 将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得 (4) 右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。 （iii）Taylor多项式近似 将函数在处展开，取一次Taylor多项式近似，则得 再将的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，得到离散化的计算公式 以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。 §2 欧拉（Euler）方法 Euler方法 Euler 方法就是用差分方程初值问题 （5） 的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（2）依次算出的近似值。这组公式求问题（1）的数值解称为向前Euler公式。 如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即，则得计算公式 （6） 用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler公式。 向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式的右端含有，因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常为 2.2 Euler方法的误差估计 对于向前Euler公式（5）我们看到，当时公式右端的都是近似的，所以用它计算的会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。 假定用（5）式时右端的没有误差，即，那么由此算出 （7） 局部截断误差指的是，按（7）式计算由到这一步的计算值与精确值之差。为了估计它，由Taylor展开得到的精确值是 （8） （7）、（8）两式相减（注意到）得 （9） 即局部截断误差是阶的，而数值算法的精度定义为： 若一种算法的局部截断误差为，则称该算法具有阶精度。 显然越大，方法的精度越高。式（5）说明，向前Euler方法是一阶方法，因此它的精度不高。 §3 改进的Euler方法 3.1 梯形公式 利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即 并用代替，则得计算公式 这就是求解初值问题（1）的梯形公式。 直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为 (10) 由于函数关于满足Lipschitz条件，容易看出 其中为Lip