第四章边值问题的分离变量方法..doc

第四章 边值问题的分离变量方法 本章利用分离变量方法求解波动和扩散的边值问题。掌握分离变量思想方法是本章的关键。 §4.1 Fourier级数 对定义在区间上的周期函数，可定义其Fourier级数， 这里，构成了一个正交系，即 ，， ，， 。 由此，。 其复数形式： ，而。 关于Fourier级数收敛主要有如下结论。 定理（点收敛定理） 如果连续，分段连续，则； 如果，分段连续，则在连续点， ； 在不连续点， 。 一般中的Fourier理论简介：收敛，正交和完备。（是否要进一步展开？） 例 对，求其Fourier变换。 解 有两种选择：或。但不能展开成完整的Fourier级数，因为，在上，不是正交系。 （1），则。 即。 （2），则。 即，是平凡的情形。 关于（1）形式上的验证： §4.2 一维波动和扩散方程的分离变量方法 考虑波动方程 。 该方程可以通过周期奇延拓方法求得解，但是解的形式较复杂。这里，将利用函数的无限线性组合来表示解。 波动方程具有变量分离形式的解应该是什么？把该函数代入方程得， ， 即 ， 其中是不依赖于的常数。 首先分别讨论和时，方程 的解。 若，则，由边界条件，； 若，则，由边界条件，； 若，则，由此，，，为使方程有非零解，必须。 记，则 。 相应的为 。 所以利用线性叠加（同时如果求导和无限和可交换），则 是方程的解。 现在选取参数，使解满足初始条件： 。 即 ，。 利用正交性，因此， ，。 因此有限弦长固定边界的齐次方程的形式解为 解的物理意义。上述解显然可以改写为 ， 其中 ，，，。 可见：该波动可以视为振动，之叠加。而此振动的频率和位相与位置无关，振幅则依赖于位置，特别在点，其振幅为零，这类振动称为驻波。 基音（最低固有频率）：，这是叠加振动分量中的最低振动频率。该频率与振动的初始条件无关，只与弦长和弦的材质有关。 泛音：，其余叠加振动分量中的振动频率是最低振动频率的整数倍。 【end】 同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题 。 令，则，因此 。 同样讨论何时， ， 方程有非零解。 类似当时，方程只有零解，只有当时，方程有非零解 。 相应，，即 。 寻找一般解 ， 使其满足初始条件：。这时，仍得 。 【end】 对很多齐次边界条件问题，分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。例如， Dirichlet条件：；（） Neumann条件：；（） Robin条件：；（） §4.3 非齐次方程的分离变量方法 对一般的非齐次波动方程 ， 利用叠加原理，可以把问题的解分解为振动的叠加。令， 选择，使边界条件齐次化，即：。这类函数很多，例如， ，其中，。这样，问题转化为齐次边界问题 的求解。而该问题又可分解为，（为方便起见，等，仍记为）， 和， 第二个问题可用分离变量方法求解。 第一个问题利用固有函数方法也可用分离变量方法解。设，这时边界条件自然满足，而初始条件，使。为确定，代入方程得 即需 。 利用拉普拉斯变换方法：，所以 。 总结一般步骤： 1）处理的必须是齐次边界问题； 2）对只有齐次边界的问题进行变量分离后得到常微分方程的定解问题； 3）由常微分方程定解问题有非零解，确定特征值和特征函数序列； 4）得到不考虑初始条件的解序列；进行无限线性组合； 5）确定系数，使其满足初始条件。 这样就能得到形式解，但是否是经典意义解则需验证。 §4.4 分离变量法的例子 如何使用分离变量方法，要通过练习才能熟练掌握。所以，这里再给出一些具体问题的解。 例1 热传导方程 解 此问题的边界条件是混合的（Dirichlet和Robin）。 步骤一。不考虑初值条件的问题，寻找变量分离形式的解 。 相应的常微分方程组： 。 步骤二。确定特征值和特征函数序列。 为使方程 有非零解，必须（论证过程与前类似），则 。 由即知：。再由得：。可见，要使方程有非零解，必须。所以特征值是方程的解。该方程组有可列个根（由图显然，严格证明略），特征值序列为 。 不能给出特征值序列的解析式，但它们满足等式：。相应的特征函数序列（不计相应的常数倍），同时相应的。因此， ，。 步骤三。选择适当的系数，无限线性组合后，使其满足初始条件： 。 由初始条件知：。所以， 即得到。 注 这里必须证明是正交完备系。只证明正交性：直接计算有困难，因为没有显式解。但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法： 所以，，因此 。 即得正交性。 【end】 例2 用分离变量方法求方程的解。 解 这是非齐次边界，非齐次方程的情况。 步骤一。把方程的边界齐次化。，则 。 故令 ， 即。则 。 步骤二。分离变量后，相应的方程组为 。 由方程确定特征值和特征函数序列： ，，；。 步骤三