等几何分析..doc

等几何分析研究进展 摘要 等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。 关键字 等几何分析 有限元 NURBS 发展现状 1 前言 有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。 首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。Sandia国家实验室曾做过一项统计在汽车航空航天和造船行业大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备 当p0时， 由基函数Ni,p(u)和控制点Pi可表示出B样条曲线： 由于B样条曲线具有局部性质因而可将上面的次B样条曲线方程改写为分段表示形式 若给定(m+1)×(n+1)个控制点Pii=1, 2, …, m，j=1, 2, …, n×q次张量积B样条曲面，方程为： 由于B样条曲面也具有局部性质，可将其分段表示为： 2.2 NURBS曲线和曲面 2.2.1 NURBS曲线 p次NURB曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数 式中， 被称作权或全因子，分别与控制点 相联系。 2.2.2 NURBS曲面 类似于B样条曲面，NURBS曲面也可分段表示为： 同样的，一个三变量NURBS实体也可表示为： 2.3 计算流程 基于NURBS的等几何分析法的分析思路如下[3]： 由节点向量积确定NURBS片； 通过节点插值将计算域细分为单元 每个基函数的支撑域包含少量单元； 由基函数的控制点定义几何模型； 采用等参概念，即场变量与几何采用相同的基函数表示基函数的系数自由度或控制变量 通过节点插值或基函数阶数可进一步细化单元，有h型细化、p型细化和k型细化； 采用类似于有限元等参NURBS片构建的数组组装成全局数组 施加Dirichlet边界条件最粗糙的方法是加在控制变量上这种近似会导致比较大的误差然而对于一些特殊情况如次边界条件该方法Dirichlet边界条件常常通过变分近似法或几何近似法施加 3 等几何分析的发展 3.1 基础理论体系 Hughes等提出了等几何分析的概念后，Bazilevs等[7]用数学的知识对其进行分析和误差估计，证明了等几何分析的收敛性和稳定性等特征，这个结论为之后等几何分析的发展奠定了扎实的理论基础。Cottrell和Hughes[8]研究了等几何分析中网格的细化和近似连续性。Gomez等[9]通过等几何分析研究了Cahn-Hilliard相域建模问题。Lipton等[10]研究了等几何离散化的鲁棒性。Sevilla等[11]提出了增强的NURBS有限元方法。Shaw和Roy[12]创立了基于NURBS的参数无网格法。Hughes等[13]人发现对B样条使用高斯积分计算效率并不理想，因而基于Half-Point-rule提出了一种宏单元积分法，该方法比高斯积分成本减少一半. 3.2 网格细化 等几何分析中主要有3种细化方法[14]：基于节点插入的h型细化方法，基于基函数升阶的p型细化方法以及升阶和节点插入相结合的k型细化方法。之后，为了提高计算精度，Xu等[15]提出了可优化计算域内部控制点的位置的r型细化方法。徐岗等[16]在r型细化方法的基础上提出了r-p型细化方法，并应用于二维热传导问题上。没多久，徐岗、朱亚光等[17]提出了基于局部误差估计的自适应r细化方法，大大提高计算域参数化的优化效率。Pilgerstorfer等[18]进一步从理论层面挖掘了计算域参数化以及节点分布对等几何分析求解的影响，发现对一般问题而言，求解误差与计算域的等参数线网格（或等参数面网格）的均匀性及正交性有关，这也为构造适合