简述卡尔曼滤波器..docx

卡尔曼滤波器摘要：卡尔曼滤波（Kalman filtering）是一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。对于解决大部分问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。?1卡尔曼滤波原理?????在统计中，卡尔曼滤波是以鲁道夫—卡尔曼命名的数学方法。它提供了一种有效的计算（递归）算法来估计过程的状态，它最大限度地减少了均方误差。该滤波器在许多方面的应用是非常强大：即使在模拟系统准确性不明的情况下，它可以对过去，现在，甚至可以对未来状态进行估计。?卡尔曼滤波器产生测量真值的估计值及其相关的计算值的预测值，估计预测值的不确定性，并计算预测值与实测值的加权平均值。它给出不确定性最小的估计值。用该方法产生的估计值往往比原来测量真值更接近真实值。从理论上看，卡尔曼滤波是一种有效的实现非线性动力学系统的算法，所有潜在的和观察到的变量都服从高斯分布（通常是一个多元高斯分布）。?如果所有的噪声为高斯噪声，卡尔曼滤波器最小化了参数估计的均方误差。鉴于只有噪声平均值和标准差，卡尔曼滤波器是最优的线性估计；并且，它结构优良，易于实现。?2 卡尔曼滤波简单介绍（1）首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)协方差为Q再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)协方差为RX(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。Z(k)是k时刻的测量值A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的协方差(covariance)分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态而进行预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差矩阵(covariance)：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。计算卡尔曼增益矩阵(Kalman Gain)Kg：Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (3)现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值和卡尔曼增益，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。初始值根据上一最优方程进行估计运算，得到X(k|k-1)输入测量值Z(k)计算X(k|k-1)对应的协方差P(k|k-1)根据P(k|k-1)计算卡尔曼增益矩阵Kg(k)根据估计值和测量值得出最优方程X(k|k)输出最优方程X(k|k)?3. 基于卡尔曼滤波的温度估计C(k|k-1)=A C(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (3)C(k|k)= C(k