微积分正教案教师版.doc

定积分的概念 了解曲边梯形的面积和变速运动路程的计算方法和步骤 理解定积分的概念及其几何意义，并掌握定积分的基本性质 从曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的相关计算中，理解“以直代曲”、“以不变代变”的重要的思想方法 例：1.求直线x=0，x=1，y=0和y=围成的曲边三角形的面积 2.汽车做变速直线运动，速度为（单位：km），求汽车在（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km） 定积分的概念 从曲边梯形的面积和变速直线运动的路程中抽象出来的数学模型，即得到定积分的概念： 定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式. 定积分的几何意义 定积分表示曲线和直线，，，y=0所围成的曲边梯形面积的代数和，其中，在x轴上方为正，在x轴下方的面积为负 　　设函数在区间上连续.　　在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；　　在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　 分类情形： 1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 定积分的基本性质 （1）：（k为常数） （2）：；（多个也成立） （3）：，其中 （4）：，其中 （5）：利用函数的奇偶性求积分：　　若函数在区间上是奇函数，则；　　若函数在区间上是偶函数，则. 7.熟悉两个求和公式 （1）n个连续正整数的平方和公式 （2）n个连续正整数的立方和公式 练习：1.运用定积分的定义求的值 2.运用定积分的定义求的值 3.运用定积分的性质和几何意义，求直线y=x和曲线y=所围成的阴影部分的面积 微积分 微积分的基本定理 如果是区间上的连续函数，并且，则 这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，它揭示了导数和定积分之间的内在联系 为了方便，常把简记为 因此 如何求被积函数的原函数 若为函数的一个原函数，显然，若为的原函数，则+C也是f（x）的原函数，它们之间相差一个常数C 3.常见求定积分的公式 （1） （2）（C为常数） （3） （4） （5） （6） （7） 求下列函数的原函数 y=x y= 较难的类型： 一： 二： 三： 26. 四： 27. 28. 五： 29． 计算下列下列定积分 1. = 2.= 3.= 4.= 5.= 6. 7. 12.= 8.= 10.= 11. 12. 13. 14. 15.= 16. 17. 18. 20. 21.= 22.= 23.= 练习： 1. （2010年广东北江中学高三第二次月考）= 2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) ． 3．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是(　　) A．acb B．abc C．cba D．cab ．已知a∈[0，]，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________. ．(2x－1)dx＝－8，则a＝________. .已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________. ．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________. ．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则 f(－x)dx的值等于(　　) A. B. C. D. 9．若等比数列{an}的首项为，且a4＝ (1＋2x)dx，则公比等于________． =