系综理论的讨论及运用..doc

课程设计 题目：系综理论的讨论及运用=ρnδ ρn= Ω（E，N，V）是孤立系统处于宏观态（N，E，V）对应的可达微观态数。在量子统计的经典极限下,对于由个全同非定域粒子组成的系统,在Γ空间的能量壳层中的微观态数为 Ω= . 确定系综的概率是系综理论的关键，微正则系综的概率Pα=1/Ω（E，N，V），求得Ω（E，N，V）后，利用A观=ΣPαAα可以计算出有对应微观量的宏观量，并且利用微正则系综的统计热力学公式 ⑴ 由以上公式⑴就可以求得理想气体及理想自旋系统的热力学量。 微正则分布是一个基本假设，它是整个统计物理理论的基础。由于直接应用微正则分布往往比较困难,故可以由微正则分布推得方便运算的其他分布，如正则分布和巨正则分布。用正则分布和巨正则分布研究具体系统的宏观性质要方便得多。 4 正则系综 正则系综是大量相同的恒温系统的集合，恒温系统可以交换能量。正则系综的配分函数为 Z= 表示能量为的微观态数(即的简并度). 正则分布为 或 . 表示恒温系统处于能量为的某一微观态的概率，而表示恒温系统能量为El的任一微观态的概率,或具有能量的概率. 正则分布适用于满足（T，N，V）一定的任何系统，不论系统中粒子之间的相互作用能否忽略，正则系综都适用，因而系综理论是一个普遍的统计理论。 对于正则系综知道了其配分函数Z（T，N，V），就可以求得以（T，N，V）为独立变量的特性函数—自由能F（T，N，V），利用dF= -SdT+Ydx +μdN 进而可以求得全部热力学量。如 ⑵ 由于 F = -KBTlnZ 其他热力学量可写成F的偏倒数的形式，如 (2′) (2)式和(2’)式为正则系综中的统计热力学公式,选取正则系综后,利用(2)式和(2’)就可以计算该系统中的全部热力学量. 5 巨正则系综 巨正则系综是由大量相同的开放系统的集合，处于平衡的开放系统的平衡态由（T，μ，V）描述，开放系统即可以交换能量，也可以交换粒子数。巨正则系综的巨配分函数为 , 巨正则分布为 , 表示温度为T，化学势为μ的开放系统处于粒子数为N，能量为的某一微观态 （N，）的概率，只要求得巨配分函数（T，μ，V），就可以求得以（T，μ，V）为独立变量的特性函数—巨热力学势Ω巨（T，μ，V）=-KTln（T，μ，V）， 进而用简单的求偏倒数的方法计算出全部热力学量。如 (3) 巨正则分布适用于（T，μ，V）一定的任何系统。 用巨正则分布可以推导出理想气体的费米-狄拉克分布（F-D分布）和玻色-爱因斯坦分布（B-E分布） nr代表理想气体达到平衡态时,能量为的单粒子态上的平均粒子数. 当〈nr〉〈〈1时，B-E分布和F-D分布趋于共同的极限麦克斯韦分布(M-B分布) , 三种分布的巨配分函数分别为 6 关系 总结三种系综:微正则系综描述孤立系统的平衡性质，正则系综描述与大热源平衡的恒温系统的性质；巨正则系综描述与大热源，大粒子源平衡的开放系统的性质。而三种统计系综的关系是：它们是等价的，但应用的广泛程度不同，方便应用的条件不同。三种系综等价的含义为：虽然组成三种系综的系统所处的宏观条件有原则上的区别，但在热力学极限下用三种系综计算同一个宏观系统的热力学量时，会得到相同的结果。也就是，我们可以不管系统所处的实际系统，按照方便，采用任何一种系综进行计算，结果都是相同的。 三种系综是等价的是因为对于微观系统，能量的相对涨落是极小的，所以正则系综和微正则系综是等价的，用微正则分布和正则分布求得的热力学量实际上相同。用这两种分布求热力学量实质上相当于选取不同的特性函数，即分别选取自变量为（N，V，E）的内能U和自变量为（N，V，T）的自由能F（N，V，T）为特性函数。对于微观系统，由于粒子数的相对涨落是很小的，因而巨正则分布和巨正则分布等价，即使在粒子数相对涨落很大的情形，巨正则分布与